第四讲二十四节气 #
古代劳动人民在认识自然、改造自然的过程中，创造了先进的耕作制度，形成了精耕细作的优良传统，推动了农业生产不断发展。在漫长的岁月中，对与农业生产紧密相关的农业气象条件，进行过精细的观察、深入的研究，逐步形成了二十四节气，概括了黄河中下游地区农业气候特征。它利用简要的两个字，把这一地区的日地关系、气候特点以及相应的农事活动恰当地表达出来。可以说，二十四节气是古代天文、气候和农业生产实践最成功的结合，从古到今都起着一种简明而又切合农业生产需要的农事历的作用。
二十四节气一旦形成，劳动人民就因时、因地加以发展，它的应用就不仅仅局限于黄河中下游地区了，而是逐步推广到全国各地，几乎渗透到我们这个农业大国的各个领域，甚至涉及人们的衣食住行。所以，对依据古代天文而形成的这样一部农事历——二十四节气进行一番研究，就是很有必要的了。
一、先民定时令 #
有了年、月、日的时间概念，并不等于就能得心应手地安排好时令。汉枚乘诗：“野人无历日，鸟啼知四时。”讲的是当时的“野人”，亦可想见先民的时令观念。《后汉书·乌桓鲜卑传》云“见鸟兽孳乳，以别四节”，道理亦同。《魏书》卷一百一讲到宕昌羌族“俗无文字，但候草木荣枯，记其岁时”。宋代洪皓《松漠纪闻》亦云：“女真……其民皆不知记年，问之则曰我见草青几度矣。盖以草青为一岁也。”据此推知，先民的时令，最早主要是靠物象——动植物的表象来确定的。
《山海经》记载了先民观察太阳升落位置以定季节的材料。《大荒东经》上记有六座日出之山：
东海之外，大荒之中，有山名曰大言，日月所出。
大荒之中，有山名曰合虚，日月所出。
大荒之中，有山名曰明星，日月所出。
大荒之中，有山名曰鞠陵，于天东极离瞀，日月所出。
大荒之中，有山名曰猗天苏门，日月所出。
大荒之中，有山名曰壑明俊疾，日月所出。
《大荒西经》上记有六座日入之山：
西海之外，大荒之中，有方山者，上有青树，名曰柜格之松，日月所出入也。
大荒之中，有山名曰丰沮玉门，日月所入。
大荒之中，有龙山，日月所入。
大荒之中，有山名曰日月山，天枢也。吴姖天门，日月所入。
大荒之中，有山名曰鏖鏊钜，日月所入者。
大荒之中，有山名曰常阳之山，日月所入。
大荒之中，有山名曰大荒之山，日月所入。
这是在不同季节、不同月份，观察到的太阳出山入山的不同位置。这种观察方法同观察鸟啼、鸟兽孳乳、草木荣枯的方法一样，是凭着经验，凭着目睹耳闻的感受，其粗疏是自不待言的。因为观察者的地域毕竟狭小，局限性很大，以此定季节势必误差很大。
观察太阳运行的另一种方法是观察日影长度的变化。最早当是利用自然的影长，进一步发展就是人为的立竿测影。
太阳视运动的轨迹无法在天空中标示，反映到地面上就是事物的投影。高山、土阜、树木、房舍，晴日白昼都会留下或长或短的影子。《吕氏春秋》“审堂下之阴，而知日月之行，阴阳之变”，就是这个意思。根据这些影子的长短可以判明时间的早晚，有经验的老人往往判断得十分精确，这无疑是依靠长期的经验积累。
如果要有意测影以确定时令，这得人为地在平地上立一根规定长度的竿子，把它的影子在地面上标示出来。这根竿子就是“表”，《周髀算经》中称之为“髀”。“表”的影子，古字写作“景”。这就是土圭测景。
从出土的甲骨文中考察殷商文化，可以明白地看到，殷商时代测定方向、时刻都已比较准确。卜辞中将一天的时刻分为：明(旦)、大采、大食、中日、昃、小食、小采、暮等时间段落。甲骨文中的“昃”字，就是人侧影的象形。作为时段，日侧之时为昃。发掘出的殷代宫殿基址是南北方向的，其方向所指与今天的指南针方向无异。这种方向的确定及中日、昃等时刻的测定，显然和观测日影紧密相关。
这都说明，殷商时代已有了早期的圭表。实践证明，通过长期测日影的实践就会认识到冬至、夏至、春分、秋分。甲骨卜辞中，有一些文字很可能就是至日的记录。
有了圭表，就能够比较准确地确定分、至，就可以对闰月的设置(闰在岁末)加以规律化的安排。所以，推知殷商之历应该比较规整，岁首应该比较固定，误差不会大于一个月。有人统计了记有月名的“今何月雨”“田”，其他农事季节及其他天文气象卜辞，证明了殷代月名和季节基本上已有了固定关系。《尧典》“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”的记载，大体符合这个时代的情况。
二、土圭测景 #
日影的长短与寒暑变化有关，这是先民积累的生活常识。要准确地测量寒来暑往的季节变化，很自然地就产生了立竿测影的方法。这是用最简易的天文仪器来研究历法、确定时令，是天文学发展的一次飞跃。
立竿测影又称土圭测景、圭表测景。表是直立的竿子，圭是平放在地上的玉版。《说文》云：“圭，瑞玉也。上圆下方。”日影长短就从平放的圭上显示出来。土，度也，测量的意思。土圭，就是度圭，测量圭上日影的长短以定时令。远在周代，“表”就规定为八尺，已有了长度标准。《周礼·考工记》云：“土圭尺有五寸，以致日，以土地。”致是推算义，土是量度义。土圭长一尺五，来推算节气日期，量度土地远近。《周礼·夏官司马》云：“土方氏，掌土圭之法以致日景。以土地相宅而建邦国都鄙。”注曰：土方氏，主四方邦国之土地。可见，周代已有人家来掌管土圭测景了。
《周礼·地官大司徒》云：“日至之影，尺有五寸。”这是说，夏至时，圭上影子有一尺五寸长。这样看来，圭长一尺五寸就远远不够了。《周礼·春官冯相氏》郑玄注云：“冬至，日在牵牛，景丈三尺；夏至，日在东井，景尺五寸。此长短之极，极则气至。冬无潜阳，夏无伏阴。春分，日在娄；秋分，日在角；而月弦于牵牛东井，亦以其景知气至不。春秋冬夏气皆至，则是四时之叙正矣。”圭有多长？当在一丈三尺以上。
根据《史记》记载，圭表测景当更早在传说中的黄帝时代。《史记·历书》“索隐”说：“黄帝使羲和占日，常仪占月，臾区占星气，伶纶造律品，大挠造甲子，隶首作算数，容成综此六术而著调历也。”不仅有专门测定日影的专家，并在测量日、月、星有关数据的基础上，利用甲子推算，创制时历。《尚书·尧典》“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”，可看作是远古时代测量日、月、星而后制历的发展。这就是以岁实366日为基本数据的我国有文字记载的最早的阴阳历。
制历调历是一件神圣的工作，《尧典》说“允厘百工，庶绩咸熙”，起到一个信治百官、兴起众功的作用。正因为这样，圭表测景就不可能是民间百姓的事，只能在天子或君王旨意下由专职官员负责进行。周代的测景遗址——周公测景台还保留在今天河南登封告成镇(古称阳城)这个地方。
阳城地处中原，物产丰富，文化发达。周公想迁都中原，视阳城为“地中”，居天下九州中心的意思。《周礼·地官大司徒》云：“以土圭之法测土深，正日景，以求地中。日南则景短，多暑。日北则景长，多寒。日东则景夕，多风。日西则景朝，多阴。日至之景，尺有五寸，谓之地中。天地之所和也，四时之所交也，风雨之所会也，阴阳之所合也。然则百物阜安，乃建王国焉。”如此详细地叙述求地中的方法，“地中”地理位置如此重要，占尽地理之便。这就是周公为迁都造下的舆论。实际上，所谓地中，是指当时国土南北的中心线而已。
告成镇的周公测景台，有一个高耸的测量台，相当于一个坚固的“表”，平铺于地面的是“量天尺”，也就是一个放大了的石“圭”。现今遗留的测景台，元代初建，明代重修。重修的测景台是正南正北走向，高出圭面8.5米，下面的圭长30.3米。
从周公在这里主持测景后，历代都在这里进行过测量，至今还有公元724年唐代所立的石“表”，上面刻有“周公测景台”五字。
三、冬至点的测定 #
我国古代以冬至作为一个天文年度的起算点，冬至的时刻确定得准不准，关系着全年节气的预报。古代天文学家的一项重要任务就是测定准确的冬至时刻。测出两次冬至时刻，就能得到一年的时间长度。这样定出的年，就是回归年，古代称为“岁实”。《后汉书·律历志》说：“日发其端，周而为岁，然其景不复。四周，千四百六十一日而景复初，是则日行之终。以周除日，得三百六十五四分日之一，为岁之日数。”四分历的岁实36514日就是这样测出来的，这是利用冬至日正午日影长度四年之后变化一周这一实测得出的数据。这样的数据，四年之后误差积累才有0.0312日，即不到45分钟。这已是测得很精确的了。可以认为，过四年后，冬至日正午影长大体复回到最初的长度。
下面介绍祖冲之测刘宋武帝(刘骏)大明五年(公元461年)十一月冬至时刻的方法。文载《宋书·历志》。
十月十日影一丈七寸七分半
十月十日影长10.7750尺
十一月二十五日一丈八寸一分太
十一月二十五日影长10.8175尺
二十六日一丈七寸五分强
二十六日影长10.7508尺
折取其中，则中天冬至
冬至应在十月十日与十一月二十五日之间
应在十一月三日
正中那一天，即十一月三日
求其早晚
求冬至时刻在早晚什么时候
令后二日影相减，则一日差率也
一日差率=10.8175-10.7508=0.0667
倍之为法
法=0.0667×2=0.1334
前二日减，以百刻乘之为实
实=(10.8175-10.7750)×100刻=4.25刻
以法除实，得冬至加时，在夜半后三十一刻
冬至时刻=实÷法=4.25÷0.1334=31.86
因为十月十日和十一月二十五日正午之间的中点是在十一月三日的子夜，冬至时刻从子夜起算。又，古历计算中通常不进位，故31.86刻记为31刻。又，“太”即34；“强”即112。
不难看出，在只有圭表测影的时代，祖冲之测定冬至时刻的方法确实是大大进步了。
前已提到，冬至点是指冬至时太阳在恒星间的位置，现代天文学是以赤经、赤纬来表示，我国古代是以距离二十八宿距星的赤经差(称入宿度)来表示。四分历明确记载，冬至点在牵牛初度。冬至点这个数据如何测定，没有留下任何文字记录。《左传》上有两次“日南至”的记载：一是僖公五年“春王正月辛亥朔，日南至”；一是昭公二十年“春王二月己丑，日南至”。说明鲁僖公时代有过日南至的观测，可是没有留下如何观测的记录。唐代僧一行(张遂)在《大衍历议·日度议》提到，古代测定太阳位置的方法是测定昏旦时刻的中星，由此可以推算出夜半时刻中星的位置，在它相对的地方就是夜半时刻太阳的位置。这是间接推求冬至点的方法。《大衍历议》也提到，后来采用直接测量夜半时刻中星的办法。这就要求漏刻(计时工具)有比较稳定的精确度。利用太阳日行一度的规律，求出某日夜半时刻太阳在星空间的位置，就不难求得冬至时刻太阳所在位置，即冬至点的位置。
冬至点在牵牛初度，这是四分历(殷历)的计算起点。战国时代所谓“颛顼历”取立春时太阳在营室五度为起算点，按中国古度推算，太阳冬至点的位置仍是牵牛初度。这也说明，颛顼历乃是殷历的改头换面，其天象依据全抄殷历。
四、岁差 #
地球是一个椭圆体，又由于自转轴对黄道平面是倾斜的，地球的赤道部分受到日月等吸引而引起地轴绕黄极作缓慢的移动，大约26000年移动一周，这就是岁周。即是说，经过一年之后，冬至点并不回到原来的位置，而是在黄道上大约每年西移50.2秒，就是71年8个月差一度，依中国古度就是70.64年差一度，所以叫岁差。
据推算，在公元前2800年右枢最近北极，几乎一致。传说的尧舜时代，右枢距天极约3～4度，仍可称为北极星。
北极移动曲线图
北极按箭头方向移动。众星位置是按公元1900年初的北极来表示。
现在北极星即勾陈一(小熊座α星)离北极一度多，公元2102年最接近北极，那时北极距约27分37秒。《晋志》所谓天枢(鹿豹座∑1694星)是一颗五等星，在中唐时代是理想的北极星。右枢(天龙座α星)是一颗四等星，在公元前2800年最近北极，几乎和北极一致，传说中的尧舜时代，它的北极距约3—4度，仍可称为北极星。
公元前1100年前后，周初时代，帝星距极六度半。天极附近又只有帝星明亮，便视为北极星。《周髀算经》所谓“北极中大星”，就是指此。如果画出这颗“北极中大星”绕天球北极的圆周运动，就叫做北极璇玑四游。因为距极六度半，可看出明显的旋转位移。这就是《吕氏春秋》所谓“极星与天俱游而天极不移”。到西汉末年，帝星距极八度三，汉人仍依旧说，帝星为北极中大星。
中唐时代(公元766—835年)，天枢是理想的北极星。
现今，视勾陈一为北极星，它距北极一度多。到公元2102年，勾陈一最接近北天极，距极只有27分37秒。公元7500年，天钩五(仙王座α星)将成为北极星。公元13600年时，明亮的织女星将作为北极星出现在天穹。
冬至点在黄道上的移动是缓慢的，短时期内不易测出。晋代以前，古人不知有岁差，天周与岁周不分。《吕氏春秋·有始览》“极星与天俱游而天极不移”，也只认为北天极是固定点，注意到了极星不在极点上，北极星与北天极是两码事。冬至点位移，汉代人从实测中是注意到的。汉武帝元封七年(公元前104年)改历，测得元封七年十一月甲子朔旦冬至“日月在建星”。《汉书·律历志》所载《三统历》也提到，经过一元之后，日月五星“进退于牵牛之前四度五分”。这是刘歆的认识。这无异于承认了冬至点已不在牵牛初度了。
东汉贾逵明白地肯定了冬至点的位置变动。他说：“《石氏星经》曰：黄道规牵牛初值斗二十一度，去极百一十五度。于赤道，斗二十一度也。”这就是汉代石申学派通过实测改进冬至点的数据，明确了冬至赤道位置在斗二十一度。这相当于公元70年左右的天象。东汉四分历所定冬至点在斗二十一度四分之一，就是采用石申学派实测的数据。
东晋成帝时代，虞喜根据《尧典》“日短星昴”的记载，对照当时冬至日昏中星在壁宿的天象，意识到一个回归年后，太阳没有在天上行一周天，而是“每岁渐差”。他第一次明确提出冬至点有缓慢移动，应该“天自为天，岁自为岁”。太阳从上一个冬至到下个冬至，并没有回到原来恒星间的位置，还不到一周天。于是他称这个现象为岁差，取每岁渐差之义。虞喜把“日短星昴”认定为他之前2700余年的尧的时代的记录，由此求得岁差积五十年差一度。
虞喜之后，祖冲之首先在历法计算中引进了岁差，他实测得冬至点在斗十五度，得出45年11个月差一度。
隋代刘焯在他的“皇极历”中，改岁差为75年差一度，比虞喜和祖冲之的推算更接近于实测值。唐宋时代，大都沿用刘焯的岁差数值。
南宋杨忠辅“统天历”和元代郭守敬“授时历”，采用66年8个月差一度，就更为精密了。
五、节气的产生 #
冬至点准确测定是产生二十四节气的基础。似乎把两冬至之间的时日二十四等分之，就可以得出二十四节气。事实上，先民认识节气，经历了一个漫长的过程。
我国是农耕发达最早的国家之一，先民在长期的农业生产中，十分重视天时的作用。《韩非子》说：“非天时，虽十尧不能冬生一穗。”北魏贾思勰著《齐民要术》，提出“顺天时，量地利，则用力少而成功多，任情返道，劳而无获”。天，天时，对农业生产起着重要的作用。
“天”是什么？天并非自然界和人类社会的最高主宰。荀子认为，“天”是自然界，而自然界的变化是有它的客观规律的，“不为尧存，不为桀亡”，它的变化是客观存在的。
按现代的说法，“天”指的是宇宙和地球表面的大气层。大气层中出现的种种气象现象，阴晴冷暖，雨雪风霜，直接影响着农业生产。今年五谷丰收，我们说“老天爷帮了忙”；要是减产歉收，我们就说“老天不开眼”。从农业生产角度看，天指的是气象条件，说得确切些，指的是农业气象条件。天时的“时”，农业活动的“时”，不是简单地指时间历程，它要求能反映出农业气象条件，反映四季冷暖及阴晴雨雪的变化。
二十四节气的节气，是表示一年四季天气变化与农业生产关系的。我国古代，节气简称气，这个“气”，实际是天气、气候的意思。
从根本上说，二十四节气是由地球绕太阳公转的运动决定的。现代天文学把地球公转一周即一年分为四段，划周天为360度。自春分开始，夏至为90度，秋分为180度，冬至为270度，再至春分合成360度。每一段即每相距90度又分为六个小段。这样，一年便分为二十四个小段，每段的交接点就是二十四节气。西方至今还只有两分、两至，仅具有天文意义。可以说，二十四节气是中华民族几千年来特有的表达农业气象条件的一套完整的时令系统。
二十四节气始于何时？一般认为，《尚书·尧典》中的仲春、仲夏、仲秋、仲冬就是指春分、夏至、秋分、冬至四气。果真这样，应该看成是二十四节气形成的初始阶段。《左传·昭公十七年》提到传说中的少昊氏设置历官：“凤鸟氏，历正也；玄鸟氏，司分者也；伯赵氏，司至者也；青鸟氏，司启者也；丹鸟氏，司闭者也。”一般都认为，分指春分、秋分，至指夏至、冬至，启指立春、立夏，闭指立秋、立冬。少昊氏时代，以鸟为图腾，物象与时令已密切相关。玄鸟即燕子，春分来秋分去，标志着春分、秋分的到来。伯赵，鸟名，一名，夏至鸣冬至止，标志着夏至、冬至的到来。青鸟、丹鸟均鸟名，分别标志着立春、立夏和立秋、立冬的到来。二分二至和四立，是二十四节气中最重要的八气，也是最先产生的八气。当然不必追溯到传说的少昊时代。
两分两至虽然能定岁时，但分一年为四个时段，各长九十余天，各段的天气、气候有显著的差异，就远不能满足农业生产上每一环节所要求掌握的天时。所以，必须加以细分。《左传》中多次提到分、至、启、闭，可见四立也产生得很早。分、至加四立，恰好把一年分为八个基本相等的时段，从而把春、夏、秋、冬四季的时间范围确定了下来。这就基本上能够适应农业生产的需要。《吕氏春秋》十二纪中就只记载了这八个节气——立春、春分(日夜分)、立夏、夏至(日长至)、立秋、秋分(日夜分)、立冬、冬至(日短至)。看起来，分、至加四立，有一个较长的稳定时期。在此基础上发展，才形成二十四节气。
西汉《淮南子》记载了完整的二十四节气，这可能是目前见到的完整二十四节气的最早文字记载。二十四节气的顺序也和现代的完全一致，并确定十五日为一节，以北斗星定节气。《淮南子》说：“日行一度，十五日为一节，以生二十四时之变。斗指子，则冬至……加十五日指癸，则小寒……”
有人认为二十四节气最早见于《周髀算经》，而《周髀》成书于何时，历来的看法也不一样。李长年认为《周髀算经》是战国前期的书籍，钱宝琮认为《周髀》是公元前100年前后(汉武帝时代)的作品。李俨在《中算史论丛》第一集中认为二十四节气大约是战国前的成果。《逸周书》是从战国魏安釐王墓中发现的，其《时训解》中已有完整的二十四节气记载。不仅如此，每气还分三候，五日为一候，而且物象的描写又十分细致。怎么解释《逸周书·时训解》中细致的物象描写？《左传·僖公五年》载：“凡分、至、启、闭，必书云物，为备故也。”就是说，每逢两分、两至、四立时，必须把当时的天气和物象记录下来，作为准备各项农事活动的依据。详细地记录物象、气象，是先民长期形成的传统，是重视农业生产的必要手段。《吕氏春秋》除了记载二十四气中最重要的八气外，还记载了许多关于温度、降水变化以及由此影响的自然、物候现象。这也是先民记录物象、气象的优良习俗的文字遗迹，与《左传·僖公五年》所载是吻合的。但这并不能说明《吕氏春秋》这部书产生的时代二十四气尚未形成。
《逸周书》虽有人疑为后人伪托，但战国时代二十四节气已全部形成还是可信的。我们以为，《汉书·次度》所记二十四节气，其顺次与《淮南子》所记汉代节气顺次小有差异，并定“冬至点在牵牛初度”，应看作是战国初期的记载。明确些说，二十四节气在战国之前已经形成。
六、二十四节气的意义 #
在我国古代，二十四节气的日期是由圭表测景来决定的。《周髀算经》和《后汉书·律历志》等许多古书都记载着二十四节气的日影长短数值。这说明二十四节气实际上是太阳视运动的一种反映，与月亮运动没有丝毫的关系。二十四节气的每一节气都是表示地球在绕太阳运行的轨道上的一定的位置的。地球通过这些位置的时刻，就称交节气。它表明这个节气刚好在这个时刻通过，是在某月、某日、某时、某分交这个节气的。因此，从天文角度来理解节气的时间概念，它是指的瞬间时刻，而不是一个时段。从农业生产的实际出发，农事活动不限于一日，瞬时的气象条件也不能决定农作物的生长发育，它需要一段时间的气象条件作保证。因此，节气必须具有时间幅度，应理解为一段时间，而不是交节气那一天，更不是那一瞬间。
二十四节气的每一节气都有它特定的意义。仅是节气的名称便点出了这段时间气象条件的变化以及它与农业生产的密切关系。现将每个节气的含义简述如下。
夏至、冬至，表示炎热的夏天和寒冷的冬天快要到来。我国广大地区，最热的月份是7月，夏至是6月22日，表示最热的夏天快要到了，我国各地最冷的月份是1月，冬至是12月23日，表示最冷的冬天快要到来，所以称作夏至、冬至。夏至日白昼最长，冬至日白昼最短，古代又分别称之为日长至(日北至)和日短至(日南至)。
春分、秋分，表示昼夜平分。这两天正是昼夜相等，平分了一天，古时统称为日夜分。这两个节气又正处在立春与立夏、立秋与立冬的中间，把春季与秋季各分为两半。
立春、立夏、立秋、立冬，我国古代天文学上把四立作为四季的开始，自立春到立夏为春季，自立夏到立秋为夏季，自立秋到立冬为秋季，自立冬到立春为冬季。立是开始的意思，因此，这四个节气是指春、夏、秋、冬四季的开始。
二分、二至、四立，来自天文，但它们中的春、夏、秋、冬四字都具有农业意义，即春种、夏长、秋收、冬藏。春、夏、秋、冬四个字概括了农业生产与气象关系的全过程，反映了一年里的农业气候规律。
雨水，表示少雨雪的冬季已过，降雨开始，雨量开始逐渐增加了。
惊蛰，蛰是藏，生物钻到土里冬眠过冬叫入蛰。回春后出土活动，古时认为是被雷震醒的，所以称惊蛰。惊蛰时节，地温渐高，土壤解冻，正是春耕开始时。
清明，天气晴和，草木现青，处处清洁明净。
谷雨，降雨明显增加。越冬作物返青拔节，春播作物生根出苗，都需雨水润溉。取雨生百谷意。
小满，麦类等夏熟作物籽粒开始饱满，但未成熟。
芒种，小麦、大麦等有芒作物种子已成熟，可以收割。又正是夏播作物播种季节。芒种又称“忙种”，指节气的农事繁忙。
小暑、大暑，开始炎热称小暑，最热时候称大暑。
处暑，处是终止、躲藏之意。表示炎夏将去。
白露，处暑后气温降低快，夜间温度已达成露条件，露水凝结得较多、较重，呈现白露。
寒露，气温更低，露水更多，有时成冻露，故称寒露。
霜降，气候已渐寒冷，开始出现白霜。
小雪、大雪，入冬后开始下雪，称小雪。大雪时，地面可积雪。
小寒、大寒，一年中最冷的季节。开始寒冷称小寒，最冷时节称大寒。相对小暑、大暑，间隔正半年。
为便于记忆，民间流行着一首歌诀：
七、节气的分类 #
从上节二十四节气的含义可以看出，节气可概括分为三类：
第一类是反映季节的。二分、二至和四立是用来表明季节，划分一年为四季的。二至二分是太阳高度变化的转折点，是从天文角度上来划分的，适用我国全部地区。四立划分四季，有很强的地区性。
第二类是反映气候特征的。直接反映热量状况的有小暑、大暑、处暑、小寒、大寒五个节气，它们用来表示不同时期寒暑程度以及暑热将去等都很确切。直接反映降水现象的有雨水、谷雨、小雪、大雪四个节气，表明降雨、降雪的时间和其强度。还有三个节气白露、寒露、霜降，讲水汽凝结成露成霜，有水分意义；也反映温度下降过程和气温下降的程度，有热量意义。
第三类是反映动植物表象的。小满、芒种反映作物成熟和收种情况；惊蛰、清明反映自然现象，都有它们的农业气象意义。
二十四节气中，直接谈到温度变化的有五个节气。小暑、大暑在7月上旬到8月上旬，说明天气最热。小寒、大寒在1月初到2月初，说明天气最冷。从黄河中下游各地的气候来看是完全符合的。洛阳、郑州、开封、济南等地最冷时段在1月中旬，最热时段在7月下旬。
从天文角度看，夏至日视太阳最高，冬至日视太阳最低，我国的最热时期不在夏至前后，最冷时期不在冬至前后，这是为什么呢？夏至前后，虽然视太阳最高，辐射最强，地面吸热最多，但地面没有达到积累和保持热量最多之时。夏至以后，地面吸热减少，温度继续升高，直到地面吸收的热量等于它所放出的热量之时，地面温度才不再升高。这便是最热的季节，相当于小暑、大暑节气。过后，地面放出的热量多于地面吸收的热量时，气温开始降低。用类似的道理可以解释小寒、大寒最冷，而不是冬至前后最冷。
处暑表示炎夏即将过去。从黄河中下游地区立秋以后气温下降趋势可以看出，处暑以前气温下降并不明显，处暑以后气温却急剧下降，是天气转凉的象征，正合处暑的含义。
前面说过，白露、寒露、霜降既表示水汽凝结现象，也表明温度的下降幅度。黄河中下游地区的初霜期，平均在10月下旬到11月初，与霜降节气的时段完全符合。白露、寒露、霜降如实地反映了黄河中下游地区出露、初霜期的时段。
二十四节气中有关降水的有四个节气。雨水包含开始下雨和雨量开始增多两个含义。从黄河中下游地区降雨日期和降雨量统计看，雨水节气反映了雨量开始增多的含义。
谷雨表示降雨有明显增加。黄河中下游地区降水量的变化情况可以证实，谷雨时段的降水量，不仅明显地多于谷雨前的清明时段，也多于其后的立夏节气。所谓“春雨贵如油”反映出谷雨节气雨水对农作物的播种和出苗的重要作用。
小雪表示已开始降雪。西安等地平均初雪日期在11月下旬。小雪在11月22日，两者相符。
大雪表示从此雪将大起来。雪大，可以积雪日期和降雪天数较多为尺度来衡量。统计资料告诉我们，西安等地平均积雪初日多在12月上旬至中旬初，12月份以后积雪日数明显增多，各地12月份积雪日数均比11月份高出一倍以上，济南且高出四倍多。这说明大雪节气也反映了黄河中下游地区这段时期的“大雪”气候特征。从统计资料知道，大雪期间降水量并不增加而是逐渐减少。这又看出，大雪并不包含降雪量最大的意思。
二十四节气中，属于物象的节气有四个。惊蛰在3月6日，取雷鸣开始和地下冬眠的生物开始出土活动，两者有因果关系。黄河中下游地区各地雷暴初日很不规律，或早于惊蛰，或迟于惊蛰，变动范围很大。洛阳的雷暴初日，1951—1970年统计，有早在2月10日的，有晚在5月27日的。这说明惊蛰的意义并非雷始鸣而引起地下冬眠的生物出土活动。冬眠生物复苏的原因不是雷鸣，而主要取决于适宜的温度条件。如果把惊蛰理解为因地温升高蛰伏地下的生物开始出土活动是比较符合实际的。
清明是4月5日。西安、洛阳等地区这段时期的平均温度为13°C~14℃，年际变化在11℃～18℃之间。这正是初春的气温，气候宜人，草木繁茂，处处明朗清新，春光明媚。
小满指麦类作物籽粒开始饱满，约相当于乳熟后期。芒种指麦类等有芒作物收获和谷子、黍、稷等作物播种之时。小满指作物行将成熟，芒种指一收一种。据近年物象资料显示，西安一带小麦乳熟后期约为5月中下旬，河南、山东沿黄河一带也大致如此。与小满节气所处时段非常接近。黄河中下游各地小麦都在6月上旬先后成熟，芒种反映了小麦的收获季节。
总起来看，二十四节气是反映了黄河流域中下游地区的气候特征和农业生产特点的，并将各个时期的农业气象特征概括为简要的名称。仅仅两个字，内容却十分丰富，不仅对古代农业的发展起了很大的作用，就是在今天，仍有现实意义，全国各地都在灵活地运用二十四节来安排农业生产。
八、节气的应用 #
二十四节气直接反映黄河中下游地区的农业气象特征，对于指导农事活动具有重要的作用。这些地区的劳动人民将节气与几种主要作物的种、收时间联系起来编成谚语，代代相传，节气就直接应用于农业生产了。
就播种期说，种麦的谚语有：
寒露到霜降，种麦日夜忙。
秋分早、霜降迟，只有寒露正当时。
立冬不交股(分蘖)，不如土里捂。
种高粱、谷子的谚语有：
清明高粱谷雨谷，立夏芝麻小满黍。
清明后，谷雨前，高粱苗儿要露尖。
种棉花的谚语有：
清明早，小满迟，谷雨种花正当时。
清明玉米谷雨花，谷子播种到立夏。
谷雨前，好种棉。
比较四川、华中地区的谚语“清明前，好种棉”，江浙一带的谚语“要穿棉，棉花种在立夏前”，显出时令的不同。
就黄河中下游地区收获季节的谚语，也看出节气与农事的联系。
麦到谷雨谷到秋(立秋)，过了霜降刨甘薯。
麦到谷雨谷到秋，过了天社(秋社)用镰钩(割豆子)。
谷雨麦怀胎，立夏麦胚黄，芒种见麦茬。
白露不秀，寒露不收(谷子)。
处暑见三新(指高粱、小米、棉花开始成熟)。
处暑见新花。
芒种不出头(棉花)，不如拔了饲老牛。
二十四节气是古代黄河中下游劳动人民长期进行农业活动的经验总结，随着中华民族经济、文化的发展，二十四节气也在全国各地得到广泛的运用。各地区的劳动人民都是因地、因时灵活地应用二十四节气以指导农业生产，节气在各地又有新的内容。如，各地冬小麦播种的适宜节气，用谚语反映出来就是：
北疆：“立秋早，寒露迟，白露麦子正当时。”
南疆：“秋分麦子正当时。”
甘肃陇南山区：“白露早，寒露迟，秋分种麦正当时。”
北京地区：“秋分种麦，前十天不早，后十天不晚。”
河南、山东一带：“骑寒露种麦，十种九得。”
华中地区：“寒露、霜降种麦正当时。”
长江中下游地区：“霜降种麦正当时。”
浙江：“立冬种麦正当时。”“大麦不过年，小麦立冬前。”
同一个节气，反映在不同地区的动植物表象又是千差万别的。比如清明：
华北、华中：“清明断雪，谷雨断霜。”
东北、西北、内蒙古：“清明断雪不断雪，谷雨断霜不断霜。”指当断雪而此地不断，当断霜而此地不断。
黄河中下游地区：“柳近清明翠缕长，多情右衮不相忘。”
江南：“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。”
岭南：“梅熟迎时雨，苍茫值小春。”
河西走廊：“绝域阳关道，胡沙与塞尘。三春时有雁，万里少行人。”
青藏高原、东北北部：“天山雪后渔风寒，横笛偏吹行路难。”
正因为同一节气各地的气象与物象的差别如此鲜明，各地劳动人民在应用节气指导农业生产时，自然得灵活地因地制宜，才能发挥节气的真正作用。
这里介绍一首节气歌，也是反映节气与物象、气象关系的。
立春阳气转，雨水沿河边。
惊蛰乌鸦叫，春分地皮干。
清明忙种麦，谷雨种大田。
立夏鹅毛住，小满雀来全。
芒种开了铲，夏至不纳棉。
小暑不算热，大暑三伏天。
立秋忙打靛，处暑动刀镰。
白露烟上架，秋分无生田。
寒露不算冷，霜降变了天。
立冬交十月，小雪地封严。
大雪江封冻，冬至冰雪寒。
小寒过去了，大寒要过年。
还有人将二十四节气编入诗中，并在每句嵌入一出戏文名，组成二十四节气名诗。这是清末苏州弹词艺人马如飞的创造。
西园梅放立春先，云镇霄光雨水连。
惊蛰初交河跃鲤，春分蝴蝶梦花间。
清明时放风筝误，谷雨西厢好养蚕。
牡丹亭立夏花零落，玉簪小满布庭前。
隔溪芒种渔家乐，义侠同耘夏至田。
小暑白罗衫着体，望河亭大暑对风眠。
立秋向日葵花放，处暑西楼听晚蝉。
翡翠园中零白露，秋分折桂月华天。
烂枯山寒露惊鸿雁，霜降芦花红蓼滩。
立冬畅饮麒麟阁，绣襦小雪咏诗篇。
幽闺大雪红炉暖，冬至琵琶懒去弹。
小寒高卧邯郸梦，一捧雪飘空交大寒。
九、杂节气 #
古代劳动人民在生活与生产活动中，常用一些简要的词语表示冷、暖、干、湿等气象现象，如三伏、九九之类。它们在一定程度上补充了节气的不足，有人称之为杂节气。“热在中伏”，“冷在三九”，杂节气在人们的生产与生活中有着一定的意义。
三伏伏的本义是指隐伏，躲避盛暑之义。以后就指一年里最热的日子。一年中最热的日子分为三个时段，即头伏、二伏、三伏。从夏至后第三个庚日算起，第一个顺序十天，叫做头伏或初伏；第二个顺序十天，叫中伏或二伏；立秋后第一个庚日算起，往后顺序十天叫末伏或三伏。
所谓庚日，指干支纪日逢庚的日子而言。六十甲子，每隔十天就有一个庚日，一个甲子周期有六个庚日，夏至后第三个庚日是公历哪一天呢？阳历一年365天，闰年还要多一天，都不是十的整倍数。因此，今年某一天是庚日，下一年同一天就不可能还是庚日。
九九指一年中较冷到最冷又回暖的那些日子。把这些日子按九天分为一段，共分九段，顺次称为一九、二九、三九……到八九、九九，共计八十一天，即所谓数九寒天。它是从冬至这天作为一九开始，即从12月22日或23日开始，依日序九天一段，直到惊蛰前两三天而为九九。
怎样衡量每个九日的寒冷程度呢？黄河中下游地区民间流传着一首九九歌：“一九二九不出手(天气冷了)，三九四九河上走(河水结冰)，五九六九沿河看柳(柳树发芽)，七九河开(江河解冻)，八九雁来，九九耕牛遍地走。”歌谣中把整个寒冬的全过程的变化顺次写出来，其中“不出手”“河上走”“沿河看柳”“河开”“雁来”等，实际上是候应。到九九，“耕牛遍地走”，春耕繁忙起来，说明九九歌的目的是为了掌握农时。
由于各地气候条件的差异，江南地区的九九歌的内容又有不同：“一九二九相见弗出手；三九二十七，篱头吹筚篥(寒风吹得篱笆啪啪响)；四九三十六，夜晚如鹭宿(寒夜，人像白鹭蜷曲身体入睡)；五九四十五，太阳开门户；六九五十四，贫儿争意气；七九六十三，布衲担头担；八九七十二，猫儿寻阳地；九九八十一，犁耙一齐出。”
冬有九九，夏亦有九九。宋代周遵道《豹隐纪谈》载有夏至后九九歌：“一九二九，扇子不离手；三九二十七，吃茶如蜜汁；四九三十六，争向路头宿；五九四十五，树头秋叶舞；六九五十四，乘凉不出寺；七九六十三，夜眠寻被单；八九七十二，被单添夹被；九九八十一，家家打炭墼。”这首歌确切地反映了夏至后天气逐渐变热，再转凉变寒的气温变化过程，反映了从夏至后起经小暑、大暑、立秋、处暑到白露这一过程的气候特征对人们生活的影响。
霉江淮流域一带，一般每年6月上旬以后出现一段阴沉多雨、温高、湿大的天气。这段时期，器物容易发霉，人们称这种天气为霉雨，简称霉。这段时期又是江南梅子成熟的时候，所以又称为梅雨或黄梅雨。两者含义相同，气象学上称为梅雨，但历书上多称霉雨。把霉雨开始之日叫入霉(梅)，结束之日叫出霉(梅)。历书上入霉、出霉日期是这样得出来的：《月令广义》(冯应京纂辑)提出“芒种后逢丙入梅，小暑后逢未出梅”，即芒种后第一个丙日称入霉，小暑后第一个未日称出霉。所以入霉总在6月6日到6月15日之间(天干十数)，出霉总是在7月8日到19日之间(地支十二数)。
社日立春后五戊为社。最初系指立春后第五个戊日叫社日，以后立秋后第五个戊日也叫社日，分别称为春社与秋社。春社敬祀土神以祈祷农业丰收，秋社敬祀土神以酬谢农业获得丰收。
寒食冬至后一百零五日称寒食，刚好是清明日的前一天，所以寒食与清明往往并用，作为节气名称之一。有诗云：“一百五日寒食雨，二十四番花信风。”
广为流传的《幼学琼林》在叙述杂节气时写道：“二月朔为中和节，三月三为上巳辰。冬至百六是清明，立春五戊为春社。寒食节是清明前一日，初伏日是夏至第三庚。四月乃是麦秋，端午却为蒲节。六月六日节名天贶，五月五日节号天中。”
十、七十二候 #
上一讲讲到观象授时，观象授时的“观象”，主要是观天象，还要观气象、物象。天象，即日月星辰的运行；物象，即动植物顺应节气而有一定的表象，如“鸿雁来”“桃始华”之类；气象，指风雨雷电、“凉风至”“雷发声”之类。应该说，最早的观察还是从气象、物象开始的，因为气象、物象与先民的生产、生活有切身的利害关系，比起天象来得更直接，显得更具体实在。古代记载观象授时的文字，比如《尧典》《夏小正》《月令》，虽有天象记载，而大量的文字还是关于气象、物象的记录。流传至今的很多农谚，就是观察气象与物象的经验总结。汉代崔寔《四民月令》就是汉代以前关于气象、物象资料的总结。元代末年娄元礼编撰《田家五行》记载了农谚140多条，不少是天象结合气象、物象的内容。如：月晕主风，日晕主雨。一个星，保夜晴。星光闪烁不定，主有风。夏夜见星密，主热。东风急备蓑笠，风急云起，愈急必雨。鸦浴风，鹊浴雨，八哥儿洗浴断风雨。獭窟近水，主旱；登岸，主水。
上古时代，先民将全年每月的天象、物象、气象，择要记录下来，以此指导农事活动，这在当时无疑具有重要意义，所以古代典籍都非常郑重地加以记载。
宋代王应麟《玉海》中记载了用鸟兽草木的变动来验证月令的变易，并说：“五日一候，三候一气，故一岁有二十四节气。”这样，一月六候，一岁七十二候，将气象、物象与月、岁的配合规律化，整齐划一。这是把古来的零散、杂乱记载加以集成、整理的结果。
在研究二十四节气时，有必要讨论一下七十二候。候是气候义。每候有一个相应的物候现象，叫做候应。物候自然包括气象、物象两个内容。七十二候可说是我国古代的物候历。
最早的物候记载，见于《诗经·七月》，其中“四月秀葽，五月鸣蜩”“五月斯螽动股，六月莎鸡振羽”“八月其获，十月陨箨”等都确切地反映了物候现象与季节、农事活动的密切关系，为后世编制农事历创造了良好的范例。较多的候应记载，见于《大戴礼记》中之《夏小正》及《礼记》中之《月令》。
《夏小正》很少提到节气，只有启蛰、日冬至可以认为是惊蛰、冬至两节气，候应虽较完整，但不十分系统，各月多少也不一致。如正月所列候应有雁北乡、雉震雊、启蛰、鱼涉负冰、囿有见韭、时有俊风、寒日涤冻涂、田鼠出、獭献鱼、鹰则为鸠、农及雪泽、采芸、柳稊、梅杏杫、桃则华等十五项；而十月则仅有豺祭兽、黑鸟浴、玄雉入于淮为蜃三项。这该怎么解释？
现代学者有《夏小正》与彝族十月历吻合的见解。他们认为，从《夏小正》中的物候记录来看，基本上符合十月历而与十二月历不合。《夏小正》正月的物候与农历大致相同，但以后便逐渐增大差距。他们认为，《夏小正》的物候记录原本是按十个月排列的，其最后两个月是整理者主观加上去的，无星象文字，物候记录则是从十月中分出的。
完整的七十二候，最早见于《吕氏春秋》十二纪中，除七十二候外，还记有十余候。可以认为，《吕氏春秋》十二纪取材于《月令》，上溯至《夏小正》，是物候历系统，而并不理会二十四节气。我们以为，《逸周书》反映出，还有一个二十四节气的节气历系统，两者并行不悖。汉代《淮南子》宗法《逸周书》，将七十二候与二十四节气两个系统配合起来，合二为一，成为一个完整的农事历体系。
《吕氏春秋》十二纪中以每月至少六候编入各月。有的物候现象与节气大体一致。孟春纪中有蛰虫始振；仲春纪中有始雨水；仲夏纪中有小暑至；孟秋纪中有白露降；季秋纪中有霜始降。相应的节气是惊蛰、雨水、小暑、白露、霜降。有的成为七十二候中的候应，如东风解冻、蛰虫始振、鱼上冰、獭祭鱼等。还有的物候文字如天气下降、地气上腾、天地和同与木槿荣、芸始生等就没有编入七十二候中。
汉代以后，很多农书以二十四节气、七十二候为中心内容作些修改补充，制定出各种农事历、农家历、田家历、田家月令、每月栽种书、每月纪事、逐月事宜等一类的农家历书。各代通行的历书，也将二十四节气和七十二候以及相应的农事活动编了进去。
七十二候的候应中有生物物候和非生物物候。生物物候中有植物的与动物的。有栽培或饲养的，也有野生的，野生植物八项，栽培植物五项；野生动物最多，有三十八项，饲养的最少，只有一项。非生物物候二十项，其中反自映然现象的七项，反映气象现象的十三项。除野生动物外，以气象为最多。这些候应多确切地反映了天气、气候的变化，包含的面很广泛，且是人们日常生活中最易感知的。比如燕子(玄鸟)春去秋来，鸿雁冬来夏往，反映时令十分准确，历来把它们称为候鸟；而蝉(即蜩)、蚯蚓、蛙(即蝼蝈)等顺季节而隐现也很明显，历来把它们称为候虫。它们的来去、隐现所反映出的时令实际包括了温度、光照气象条件的综合。有些植物如桃、桐、菊、苦菜等开花以及草木的荣枯还反映了过去一定时期内的积温，反映了对水分、光照等条件的要求，反映了当时气象条件的综合。应当说，这些物候现象是气象要素综合影响的结果。所以，七十二候候应所反映的农业气象条件，有它明显的特点：具体简单，用于指导农事活动也来得准确、直接。物候所以起源很早，而且一直沿用至今，原因就在这里。
如果从物候学观点来看待七十二候，很显然，有些物候现象是不科学的，如：腐草化为萤、雀入大水为蛤、雉入大水为鹰等都是没有的事；虎始交、鹿角解、麋角解等是很难甚至不可能见到。有些候应的意义较为晦涩，如天地始肃、地气上腾、天气下降、闭塞成冬等是无法观测的。有些候应名称不通用，难以准确理解，如仓庚(指莺的一种)、戴胜(一种鸟，状似鹊)、荔(一种草，似蒲而小)、等等。此外，七十二候受了二十四节气的约束，每一个节气非三候不可，五天有一个变化，反而无法充分发挥物候应有的作用。现代的一般历书删去了七十二候，道理就在这里。
《月令总图》(见本书91页)外圈所列即七十二候顺次配合十二个月。
十一、四季的划分 #
一年四季，春夏秋冬，按照传统的观念，阴历正、二、三月为春季，四、五、六月为夏季，七、八、九月为秋季，十、冬、腊月为冬季。“一年之计在于春”，春节当然是阴历正月初一了。然而，阴历以月亮盈亏来计算月份，就不能准确地反映季节的变迁。今年正月初一到下年正月初一，可能是354天(平年)，也可能是384天(闰年)，日数差到30日，所以按朔望月划分季节是不可取的。
我国古代典籍中多以四立作为四季的开端，每一个节气还有相应的候应作为季节的标志，这种划分标准反映了黄河流域四季分明的气候特点。
立春。立春第一候候应是东风解冻，作为春季开始的标志。从黄河中下游各地土壤开始解冻日期来看，这一带10厘米深土层开始解冻的平均日期约从1月底到2月上旬，如西安平均为2月2日，开封为1月24日，济南为2月9日，与古代立春节气第一候候应基本一致。再从日最高气温等于或小于0℃的终止日期看，也能说明立春的气候意义。黄河中下游地区各地日最高气温小于或等于0℃终日约为2月11日到2月21日之间。可见，这一地区立春节气白天温度开始上升到0℃以上，土壤解冻，春天即将到来。白居易诗：“野火烧不尽，春风吹又生。”春风或东风，指较暖湿的偏南和偏东风。它们吹来时，野草开始萌动，象征春天将到，土壤开始解冻。从西安地区看，2月份“东风”显著增加。结合土壤解冻日期，“东风解冻”反映了黄河中下游地区2月上旬(立春)的气候特点。
立冬。立冬第一候候应“水始冰”，作为冬季开始的标志。据《中国气候图简编》看，黄河中下游地区平均开始结冰日期大致为11月1日、11日、21日三条等日期线所通过。此外，黄河中下游地区最低气温等于或小于0℃的开始日期大致在11月1日到11日之间，济南为11月11日，可见立冬开始是与“水始冰”基本一致的。
立秋。立秋第一候候应为“凉风至”。夏秋之季，北风刮来，给人带来凉意。“凉风至”如可解释为最多风向是偏北或偏北风频率迅速增多，偏南风频率迅速减少，那么黄河中下游地区8月份风向转变情况是与立秋的“凉风至”相一致的。
立夏。立夏第一候候应为蝼蝈鸣，而目前黄河中下游一带青蛙始鸣日期与立夏第一候蝼蝈鸣是有较大差别的。西安3月上旬，洛阳3月下旬初，德州4月初，安阳4月下旬初，而立夏在5月初。
如果以四立划分四季，立春就是春季的开始，此时正是阳光从最南的位置(冬至)到适中的位置(春分)的过渡阶段，即是冬季到春季的过渡阶段。真是这样划分四季，那还是不符合天气变化的实际。立春日正是“五九”将尽而“六九”开始之际，天气还相当寒冷。我国北方的立春日，可冷到-20℃左右，因为冬至日太阳在最南的位置，大地丧失热量入不敷出的状况尚未达到顶点，要等一两月后北半球热量丧失过多而气温降到最低，那正是立春日前后。因此，冬季往往到立春前后才最冷，把最冷的立春作为春季的开始，显然是不恰当的。
天文学上是以春分、夏至、秋分、冬至作为春、夏、秋、冬四季的开始。两分两至是根据视太阳在黄道上运行的位置而制定出来的，因此它不但适用于黄河流域，而且对全国来说都是适用的。这样的四季划分确实反映了自然界的变化，如树木发芽，雷雨出现，草木枯黄，首次见霜等现象，这与以气温变化来决定季节也是大体吻合的。从春分以后，太阳的位置愈来愈高，大地接受到愈来愈多的热量，确实开始了一个温暖的季节。
现在通用的是从气候学上划分四季，标准是以候平均气温低于10°C为冬季，高于22°C为夏季，界于10°C和22°C之间分别为春季、秋季。按这样的标准，各地四季的长短就大不相同。昆明可以是“四季如春”，青藏高原和东北北部的冬季就十分漫长。
如果按节气来划分四季，不管是我国古代以四立为标准分出春夏秋冬，还是通行于世的二分、二至划分四季，春夏秋冬四季的时间间隔都完全相等。按气温来划分，我国广大地区是春秋短而冬夏长，这是我国季风气候的一个显著特征。
十二、平气与定气 #
二十四节气的计算方法，最初是把一个回归年长度均匀地分为二十四等分。四分历的回归年长度为36514日，每一节气的时间长度是36514÷24=15732日。从立春时刻开始，每过15732日就交一个新的节气，这就是平气。清代以前，历法都用平气划分二十四节气。
太阳周年视运动实际是不等速的。《隋书·天文志》载，北齐天文学家张子信已经发现“日行在春分后则迟，秋分后则速”。
隋代刘焯在《皇极历》中提出以太阳黄道位置来分节气。他把黄道一周天从冬至开始，均匀地分成二十四份，太阳每走到一个分点就是交一个节气，这叫定气，取每个节气太阳所在位置固定的意思。两个节气之间太阳所走的距离是一定的，而所用的时间长度都不相等。冬至前后太阳移动快，只要十四日多就从一个分点走到下一个分点。夏至太阳移动慢，将近十六日才走到下一个分点。刘焯的定气在民用历本上一直没有采用。
唐代僧一行《大衍历议·日缠盈缩略例》中批评了刘焯对于太阳运动规律的错误认识。他指出：“焯术于春分前一日最急，后一日最舒；秋分前一日最舒，后一日最急。舒急同于二至，而中间一日平行，其说非是。”他指出的规律是接近实际的：“日南至，日行最急。急而渐损，至春分，及中，而后迟。至日北至，其行最舒。而渐益之，以至秋分，又及中，而后益急。”(见《新唐书·历志》)
为计算任意时刻的太阳位置，一行发明了不等间距的二次差内插公式，在实际计算中，元代“授时历”已经考虑到三次差。
不过，清代“时宪历”才用定气注历本。第五讲四分历的编制
第五讲四分历的编制 #
在有规律地调配年、月、日的历法产生以前，都还是观象授时的阶段。观象，主要是观测星象，是以二十八宿为基准，记述时令的昏旦中星，这是采用二十八宿体系的授时系统。
由于二十八宿之间跨度广狭相当悬殊，势必影响所确定的时令的准确度。随着农业的精耕细作，对时令的准确性要求越来越高，观星定时令也就发展为以二十四气定时令，这是采用二十四气体系的授时系统。
二十八宿体系是依据具体的星象以朔望月为基础加置闰月的办法调整年月日的阴阳历系统，二十四气体系是依据太阳周年视运动划分周天为二十四等分，形成纯粹的太阳历系统。到二十四气的产生，记述时令的办法就由观测具体的星象进入了一个可运算的抽象化的时代。二十四气的诞生，是观象授时走向更普遍、更概括，经过抽象化而上升为理论的阶段。到了这时，观象授时才算完成了自己的任务为二十四气所取代了。从此，在我国古代天文学史上，就同时并存有两套不同的授时系统。
伴随着二十四气而来的，就是古代四分历的出现。
一、产生四分历的条件 #
所谓“四分历”，是以36514日为回归年长度调整年、月、日周期的历法。冬至起于牵牛初度，则14日记在斗宿末，为斗分，是回归年长度的小数，正好把一日四分，所以古称“四分历”。
四分历是我国第一部有规律地调配年、月、日的科学历法，它要求有实测的回归年长度36514日，要求有比较准确的朔望月周期。由于是阴阳合历的性质，就必须掌握十九年七闰的规律。只有满足了这些条件，以36514日为回归年长度的四分历的年、月、日推演才有可能进行，四分历才有可能产生。
关于回归年长度的测量。圭表测景之法在商周时代就已经有了。《尧典》所载“期三百有六旬有六日”的文字，应看作商末或更早的实测。回归年长度定为366日，是不可能产生历法的。古代典籍中，关于冬至日的最早记载，在《左传》中有两次。一次在僖公五年(公元前655年)：“春王正月辛亥朔，日南至。”一次在昭公二十年(公元前522年)：“春王二月己丑，日南至。”只要不能证实这是古人的凭空编造，就应该承认，在鲁僖公时代，是有过日南至(冬至)的观测的。冬至日期的确定，古代是利用土圭对每天中午表影长度变化的观测得来的。只要长期使用圭表测影来定冬至(或夏至)日期，就可以得到较为准确的回归年长度——36514日。据《后汉书·律历志》载：“日发其端，周而为岁，然其景不复。四周，千四百六十一日而景复初，是则日行之终。以周除日，得三百六十五四分日之一，为岁之日数。”四分历的回归年长度就是这样观测出来的。从《后汉书》的记载看出，利用圭表测影，不难得到四分历所要求的回归年长度：36514日。
关于朔望月周期。月相在天，容易观测。从一个满月到下一个满月，就得到一个朔望月的长度。如果经常观测，就会知道一个朔望月的长度比29天半稍长。按照朔望月来安排历日，必然是小月和大月相间，而到一定时间之后，还得安插一个连大月。只有掌握了比较准确的朔望月周期，连大月的设置才会显现出它的规律。从文献上考查，《春秋》所记月朔干支告诉我们，春秋中期以前，连大月的安插并无明显的规律性。在鲁襄公二十一年(公元前552年)的九、十两个连大月以后，除襄公二十四年八、九两个月连大外，其余所有连大月的安插都显示了15个月～17个月有一个连大月的间隔规律。这表明，春秋中期以后，四分历所要求的朔望月长度已为司历者所掌握。
又，据统计，《春秋》37次日食记载中，宣公以前有15次，记明是朔日的只有6次。鲁成公(公元前590年—公元前573年)以后有22次，记明朔日的竟达21次。由此可见，春秋中期以后，朔日的推算已相当准确。这说明，不仅掌握了比较准确的朔望月长度，日月合朔的时刻也定得比较准确。
关于十九年七闰的规律。《春秋》所记近三百年(前772年—前479年)史料中，有700多个月名，394个干支日名，37个日食记录。后人据此研究，排定春秋时代的全部历谱。晋杜预有《经传长历》，清王韬有《春秋历学三种》，邹伯奇有《春秋经传日月考》，张冕有《春秋至朔通考》，日人新城新藏有《春秋长历》，张汝舟先生编有《春秋经朔谱》，都是研究春秋史的很好工具。从这些历谱可以看出，鲁文公(前626年—前609年)、宣公(前608年—前591年)以前，冬至大都出现在十二月，置闰无明显规律，大、小月安排是随意的。这以后，置闰已大致符合四分历的要求——十九年七闰，大月小月的安排也比较有规律。在没有掌握较准确的回归年长度以前，只能依据观测天象来安插闰月，随时发现季节与月令发生差异就可随时置闰，无规律可言。如果观测出回归年长度为36514日，根据长期的经验积累，人们自会摸索出一些安置闰月的规律。《说文》释：“闰，余分之月，五岁再闰也。”所谓“三年一闰，五年再闰”，是比较古老的置闰法。十九年七闰是四分历法所要求的调整回归年与朔望月长度的必要条件。从前人的研究成果可看出，春秋中期已掌握了十九年七闰的规律。据王韬、新城氏等人的工作统计，自公元前722年到公元前476年间的置闰情况可以列为一表：
722—704闰7627—6097532—5147
703—6856608—5908513—4957
684—6667589—5717494—4767
665—6477570—5527
646—6286551—5337
从表上可看出，从公元前589年(鲁成公二年)以来，十九年七闰已成规律了。结论是：春秋中期以后，产生四分历的条件已经具备。
二、《次度》及其意义 #
在《汉书·律历志》中，保存了一份珍贵的史料——《次度》。这是一份古代天象实测记录，包含着丰富的内容，涉及古代天文历法研究中一系列基本问题。现介绍如次。原文：
星纪。初斗十二度，大雪。中牵牛初，冬至(于夏为十一月，商为十二月，周为正月)。终于婺女七度。
玄枵。初婺女八度，小雪。中危初，大寒(于夏为十二月，商为正月，周为二月)。终于危十五度。
娵訾。初危十六度，立春。中营室十四度，惊蛰(今曰雨水。于夏为正月，商为二月，周为三月)。终于奎四度。
降娄。初奎五度，雨水(今曰惊蛰)。中娄四度，春分(于夏为二月，商为三月，周为四月)。终于胃六度。
大梁。初胃七度，谷雨(今曰清明)。中昴八度，清明(今曰谷雨。于夏为三月，商为四月，周为五月)。终于毕十一度。
实沈。初毕十二度，立夏。中井初，小满(于夏为四月，商为五月，周为六月)。终于井十五度。
鹑首。初井十六度，芒种。中井三十一度，夏至(于夏为五月，商为六月，周为七月)。终于柳八度。
鹑火。初柳九度，小暑。中张三度，大暑(于夏为六月，商为七月，周为八月)。终于张十七度。
鹑尾。初张十八度，立秋。中翼十五度，处暑(于夏为七月，商为八月，周为九月)。终于轸十一度。
寿星。初轸十二度，白露。中角十度，秋分(于夏为八月，商为九月，周为十月)。终于氐四度。
大火。初氐五度，寒露。中房五度，霜降(于夏为九月，商为十月，周为十一月)。终于尾九度。
析木。初尾十度，立冬。中箕七度，小雪(于夏为十月，商为十一月，周为十二月)。终于斗十一度。
首先，《次度》依据二十八宿距度，把日期的变更与星象的变化紧密联系起来，形成了二十八宿与二十四节气、十二月的对应关系。一岁二十四节气与二十八宿一周天正好相应。二十八宿的距度明确，《次度》便以精确的宿度来标志节气，比起《月令》以昏旦中星定节气，无疑更加准确而科学。
其次，春秋中期以后，十九年七闰已经形成规律，平常年十二个朔望月，逢闰年有十三个朔望月，《次度》以平常年份排列，把十二月与二十四节气相配，实际上构成了阴阳合历的格局。同时，也把置闰与节气联系起来，为“无中气置闰法”创造了条件。若按《次度》的二十四节气继续排列下去，闰月就自有恰当的位置。
第三，《次度》逐月将当时流行的三正月序附记于后，说明《次度》是三正论盛行时期的产物，它不仅适用于建寅为正之历，也适用于建丑为正、建子为正之历，是当时创制历法的天象依据，不受各国建正、岁首异制的影响。又，惊蛰后注明“今曰雨水”，雨水后注明“今曰惊蛰”；谷雨后注明“今曰清明”，清明后注明“今曰谷雨”，说明《次度》是古代遗留的典籍，节气顺次与汉代的不同，一一注明，可见非汉代人的编造。
第四，《次度》中“星纪，玄枵……”等十二名，本是岁星纪年十二次用以纪年的专用名称，而《次度》却用来纪月。这一变革有很重要的意义。岁星纪年是春秋中期昙花一现的纪年法，它以木星十二岁绕天一周为周期。实际木星周期11.86年，过八十余年必有明显的岁星超次。所以，岁星纪年法不可能长期使用。《次度》用以纪月，说明《次度》产生于岁星纪年法破产之后，它伴随着一种新型的纪年法出现，标志着纪年方法的根本变革。
最后，《次度》标明冬至点在牵牛初度，这就等于把它产生的年代告诉了我们。今人研究，冬至起于牛初，与公元前450年左右的天象相符。冬至点在牛初，一岁之末必在斗宿26度之后。斗宿计2614度，正是“斗分”。所以《次度》所记，正是四分历的天象。
总之，《次度》中二十八宿、二十四节气和十二月的完美结合，概括了观象授时的全部成果，形成了阴阳合历的体制，显示了天文观测的高度水准，提供了创制四分历法的天象依据。可以说，《次度》的产生就预示着历法时代的开始。
三、四分历产生的年代 #
有了《次度》所记天象和时令作为依据，有了观象实测得来的回归年、朔望月长度和十九年七闰的置闰规律，就可以进而制定历法。从《春秋》所记史料研究得知，四分历法的创制当在春秋后期至战国初期的某个时候。
四分历究竟是什么时候创制、使用的呢？这个问题始终是古代天文历法史上的一大疑难，争论颇多。根据张汝舟先生的考证，四分历创制于战国初期，于周考王十四年(公元前427年)行用。他有什么主要依据呢？
1.《次度》所载，“星纪”所记冬至点在牵牛初度，这正是创制四分历的实际天象。星纪者，星之序也。星纪起于牛初，最后当然是斗宿，分数14必在斗宿度数之内，这就是星历家所称之“斗分”。没有斗分便没有四分历，而斗分的概念也专属于四分历，它是编制四分历的基本数据。
汉初的实际天象是冬至点在建星(见《汉书·律历志》)。建星在南斗尾附近。《后汉书·律历志》记冬至点在斗2114度。据岁差密律，每71年8个月，冬至点西移1度。
5×7123=358.3年
古人凭肉眼观察，差1度就差70多年。可以推知《次度》保留的是战国初期的实际天象。前已说过，以科学的数据推知，《次度》所显示的是公元前450年左右的实际天象。
2.《次度》所载春天三个月的节气，顺次是立春、惊蛰、雨水、春分、谷雨、清明，与汉朝以后迄今未变的节气顺次不同。足证《次度》所记之四分历到汉初已行用了相当长一段时间，才有足够的经验加以改进。
3.有了“斗分”，定岁实为36514日，以它作基础调配年月日，就能得出一个朔望月(朔策)为29499940日。《历术甲子篇》通篇的大余、小余，就反映了四分历的岁实与朔策的调配关系。那通篇的大余、小余使我们明白，《历术甲子篇》就是司马迁为我们保存下来的中国最早的完整的历法。《历术甲子篇》中“焉逢摄提格”之类的称谓就是干支的别名，全篇取甲寅年为太初元年，以甲子月甲子日夜半冬至合朔为历元，其历元近距是周考王十四年(甲寅)己酉日夜半冬至合朔。据此推演下来，千百年之干支纪年，朔日与余分，一一吻合。这不是偶合，是法则，是规律，足证四分历以公元前427年为历元近距之考证不误。
4.再以《史记》《汉书》所记汉初实际天象说，汉初“日食在晦”频频出现。四分历的岁实是36514日，与实际天象每年实浮3.06分，由此可以推知四分历的行用至汉代已近三百年左右，才会有“后天一日”的记录。“日食在晦”的反常现象正是四分历的固有误差(三百年而盈一日)造成的。确证公元前427年为四分历行用之年是可信的。通过后面的演算，对汝舟先生的结论更会确信不疑。
5.《汉书·律历志·世经》说：“元帝初元二年十一月癸亥朔旦冬至，殷历以为甲子，以为纪首。”据此，可以进行如下推算。
汉元帝初元二年为公元前47年(甲戌)，殷历以该年十一月的癸亥朔旦冬至为甲子日朔旦冬至(癸亥先于甲子一日，这是刘歆《三统历》造成的)，并以为纪首。按四分历章蔀编制，一纪20蔀共1520年，上一纪首当为1520+47=1567年(甲寅)，正与《历术甲子篇》首年干支相合，说明公元前1567年(甲寅)既为纪首年，又为甲子蔀首年，这就是所谓历元，即殷历甲寅元。但是，殷历甲寅元并非产生于公元前1567年。《次度》和汉初日食在晦的天象已经告诉我们，它产生于汉初之前300年左右。这就要求创制殷历的这一年作为制历的首年，应该既是甲寅年(作为历元的标志)，又是蔀首年(便于起算)，可以用推求一蔀76年与60位干支最小公倍数的方法，推算此年：
由此可知，殷历甲寅元创制之年是公元前427年，此年为甲寅年，位于殷历第十六蔀首年，在太初改历(公元前104年)之前323年，完全满足上述条件和天象、史实记载的要求，因此可以断定，公元前427年为殷历甲寅元创制行用之年。
由于纪首公元前1567年年前十一月朔旦冬至从甲子日起算，到公元前427年朔旦冬至并不逢甲子：1140×36514÷60=6939……余45(己酉)，而是在甲子之后的45位干支己酉(即第十六蔀蔀余)，说明己酉为第十六蔀首日，按照“甲寅岁甲子月甲子日夜半甲子时合朔冬至”的要求，公元前427年显然不配称为历元，故称之为“历元近距”。由此我们可以推知，殷历制造者正是以公元前427年(甲寅)首日己酉为基点，逆推历元公元前1567年(甲寅)首日甲子，进而编排《二十蔀首表》的，而《历术甲子篇》就是殷历甲寅元的推算法规。
生活于公元前4世纪的孟子曾充满自信地说：“天之高也，星辰之远也，苟求其故，千岁之日至，可坐而致也。”(《孟子·离娄下》)这正是当时人们长期运用四分历法，推算时令节气的真实写照。反之，如果当时还处于观象授时阶段，没有行用历法，那么“千岁之日至”何以“坐而致”呢？
考证出殷历甲寅元(即《历术甲子篇》)创制于公元前427年，就可以用来推算上古历点，并在推算中验证殷历甲寅元的正确性。
四、四分历的数据 #
四分历的基本数据是定岁实为36514日，推知朔策为29499940日。因为太阳与月亮运行周期都不是日的整倍数，要调配年、月、日以相谐和，就必须有更大的数据，才能反映这种谐和的周期，这就形成了大于年的计算单位：章、蔀、纪、元。
一章：19年235月
一蔀：4章76年940月27759日
一纪：20蔀1520年
一元：3纪4560年
岁实是从冬至到下一个冬至的时日，比较好理解。由于月亮圆缺周期是29日多，12个月6大6小(大月30日，小月29日)才354日，还与岁实差1114日，三年置一闰月还有余，所以远古时候我们祖先就懂得“三年一闰，五年再闰”。四分历明确“十九年七闰”，成为规律，所以19年为一章，共235月。19年中设置7个闰月就能调配一年四季与月亮运行周期大体相合。
要使月亮运行周期(朔望月)与岁实完全调配无余分，19年还做不到，必须76年才有可能，所以又规定一蔀4章76年计940个月，得36514×76=27759日。若以月数(940)除日数，便得朔策499940日。
历法必须与干支纪日联系在一起。一蔀之日27759日，干支以60为周期：27759÷60=462……余39(日)，这就是蔀余。即一蔀之日不是60干支的整倍数，尚余39日(即39位干支)，也就是说，若一蔀首日为甲子日，最后一天即为壬寅日。为了构成日数与干支的完整周期，必须以二十蔀为一个单元：
27759×20÷60=9253(无余数)
这就是一纪二十蔀的来由，即一纪起自甲子日，终于癸亥日，是9253个完整的干支周期。据此，可制成二十蔀表：
汝舟先生在表中立了“蔀余”，很重要：“蔀余”指的是每蔀后列之数字。《历术甲子篇》只代表四分历一元之第一蔀(甲子蔀)七十六年。所余前大余为39(即太初第七十七年前大余三十九)，进入第二蔀即为癸卯蔀蔀余。以后每蔀递加39，就得该蔀之蔀余。如果递加结果超过了一甲数60，则减去一甲数。
一纪二十蔀，共1520年，甲子日夜半冬至合朔又回复一次。但1520年还不是干支60的整倍数，所以一元辖三纪，4560年，才能回复到甲寅年甲子月甲子日甲子时(夜半)冬至合朔。这就是一元三纪的来由。
如果我们将二十蔀首年与公元年份配合起来，就是下面的关系(见下页)。十六蔀己酉，蔀首年是公元前427年，又是公元1094年(北宋哲宗绍兴元年)。公元1930年乃第七戊午蔀首年，公元2006年乃第八丁酉蔀首年。推知2004年当为戊午蔀第七十五年。
《历术甲子篇》之所以是四分历之“法”，就在于它将甲子蔀(四分历的第一蔀)七十六年的朔闰一一确定下来，使之规律化；由此一蔀可以推知二十蔀，推知整个一元4560年的朔闰规律。我们读懂了《历术甲子篇》的大余、小余，四分历就算通透明白，就可以应用于对证历点考察史料。
《历术甲子篇》所载之“太初”，乃四分历历元之太初，非汉武帝之年号太初。“太初”前之一“汉”字，是后人妄加。历代星历家对此早有怀疑，但一直未能找到症结所在，致使这部极为重要的历法著述被视为一张普通的历表，淹没了千百年。
《历术甲子篇》列出每年前大余、前小余、后大余、后小余。“大余者，日也；小余者，日之分数也。”这个解释是对的。
前大余是记年前十一月朔在哪一天；
前小余是记当日合朔时的分数(每日以940分计)；
后大余是记年前冬至在哪一天；
后小余是记冬至日冬至时的分数(每日四分之，化14为832)。
如：太初二年前大余五十四
前小余三百四十八
后大余五
后小余八
前大余指合朔干支，查《一甲数次表》，五十四为戊午；前小余即合朔时刻，在348940分。即，太初二年子月戊午348分合朔。
后大余指冬至干支，查表，五是己巳；后小余即冬至时刻，在832分即14日(卯时)。即，太初二年子月己巳日卯时冬至。
五、《历术甲子篇》的编制 #
明白了四分历章蔀编制的内在联系，就可以探讨《历术甲子篇》的编制原理。
要理解《历术甲子篇》，必须首先澄清两个问题：
1.《历术甲子篇》是一部历法书，不是一份起自汉太初元年(公元前104年)的编年表。在《史记·历书·历术甲子篇》中，在焉逢摄提格太初元年之后，逐一列举了天汉元年、太始元年等年号、年数，直至汉成帝建始四年(公元前29年)，因此有人将《历术甲子篇》认定为汉太初改历后行用的太初历或编年表，这是不正确的。细读《史记》，不难发现其中的谬误。
清张文虎《史记札记》说：“历术甲子篇：《志疑》云此乃当时历家之书，后人谬附增入‘太初’等年号、年数，其所说仍古四分之法，非邓平、落下闳更定之《太初历》也。”
日本学者泷川资言《史记会注考证》也说：“太初元年至建始元年年号年数，后人妄增。”
可见前人对此早有觉察。
现在可进一步确证，太史公司马迁生于汉景帝中元五年(公元前145年)，武帝太初元年(公元前104年)参与改历，是年42岁，之后开始撰写《史记》。天汉三年(公元前98年)因李陵事受宫刑，到太始四年(公元前93年，写《报任安书》时)《史记》一书已成，是年53岁。史家认为自此以后，司马迁事迹已不可考，约卒于武帝末年。倘若司马迁活到汉成帝建始四年(公元前29年)，当享年117岁，这是不可能的事。由此可知，混入《历术甲子篇》中的年号、年数，断非出自司马迁的手笔，纯系后人妄加。现在应该删去这些年号、年数，恢复《历术甲子篇》作为历法宝书的本来面目。
2.《历术甲子篇》虽行用日久，但系皇家宝典，外人难以知道其中的奥秘，所以后世曲解误断者自不可免，如其中“大余者，日也；小余者，月也”一句，便不可解，正因为如此，这样一部历法宝书才被埋没了两千年之久。现经张汝舟教授多年研究考订，终于拭去了历史的尘垢，使它焕发出夺目的光彩。以下随文一一说明。
《历术甲子篇》浅释：
[原文]元年，岁名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。
正北十二无大余无小余无大余无小余[浅释]所谓“甲子篇”，即20蔀中的第1蔀甲子蔀，蔀首日甲子，干支序号为0。1蔀76年，以下顺次排列朔闰谱。这里虽只列1蔀朔闰法，其他19蔀与之同法同理，所不同者唯蔀余(即蔀首日干支序号)而已。
“元年，岁名焉逢摄提格。”“元年”即四分历甲子蔀第一年；“岁名焉逢摄提格”即该年名为“甲寅”。此处言“岁名”而不说“岁在”，可知此“岁”字不是岁星之“岁”，而只是指此年，与岁星纪年划清了界线。
“月名毕聚。”《尔雅·释天》“月在甲日毕”，“正月为陬”。作为历法，是以冬至为起算点，冬至正在夏正十一月(子月)，即此历以甲子月(子月)起算。聚与陬、娵相通，从《次度》可知，娵訾为寅月，此处“正月为陬”即以寅月为正月。
“日得甲子，夜半朔旦冬至。”“日得甲子”即甲子蔀首日为甲子；“夜半朔旦冬至”即这天的夜半子时0点合朔冬至。“旦”字后人妄加，应删。将子、丑等十二辰配二十四小时，子时分初、正，包括23到1点两个小时，那是中古以后的事。
上文告诉我们，这部历法的第一蔀开始于甲寅岁、甲子月、甲子日夜半子时0点合朔冬至，显然这是一个非常理想的时刻，即所谓“历始冬至，月先建子，时平夜半”(《后汉书·律历志》)。
“正北。”古人以十二地支配四方，子属正北，卯属正东，午属正南，酉属正西。此年前十一月子时0点合朔冬至，故曰“正北”。
“十二。”记这一年为十二个月，无闰月，平年；有闰月的年份为“闰十三”。
“无大余，无小余；无大余，无小余。”“前大余”为年前十一月(子月)朔日干支号，“前小余”为合朔余分(朔余)，“后大余”为年前十一月冬至干支号，“后小余”为冬至余分(气余)。此处前、后、大、小余均无，即说明在甲子日夜半子时0点合朔冬至，正与前文相应。
[原文]端蒙单阏二年十二
大余五十四小余三百四十八
大余五小余八
[浅释]此年乙卯年。端蒙，乙；单阏，卯。
由前文可知，前大余、前小余与年前十一月合朔有关，属于太阴历系统；后大余、后小余与年前十一月冬至有关，属于太阳历系统，这两者的结合，就是阴阳合历，这就是中国历法的特点。
前“大余五十四”：如前所述，太阴历一年十二个月，六大六小，30×6+29×6=354(日)，354÷60=5……余54(日)。查干支表，54为戊午，即知此年前十一月戊午朔。
前“小余三百四十八”：按四分历章蔀，一个朔望月为12
日(朔策)，一年十二个月，29×12+ ×12=348+6
=354 (日)，此处只记分子348，不记分母940。
换句话说，大月30日-29 日=
(日)多用了441分；小月29日，尚余499分，一大一小，499-441=58(分)。一年六大月六小月，58×6=348(分)，这就是该年前十一月朔余。
348分意味着什么？化成今天的小时：
348／940×24=8.885(小时)
60×0.885=53.1(分)
60×0.1=6(秒)
就是说，该年前十一月戊午日八时五十三分六秒合朔。
后“大余五”：一个回归年36514日，以60干支除之。36514÷60=6……余514(日)，后大余只记冬至日干支号五。查干支表五为己巳，即该年前十一月己巳冬至为十一月十二日(朔为戊午)。
后“小余八”：后大余已记整数五，尚余14，为运算方便，将分子分母同时扩大四倍，即化14为832，此处只记分子八，不记分母，即为后小余。832×24=6(时)，即说明该年前十一月己巳(十二日)六时冬至。
为什么要化14为832？为了便于推算一年二十四节气。因为当时用平气，冬至已定，其他节气均可推出：
即每个节气均有15日7／32分之差，从冬至起算，逐一叠加，可以算出每个节气的干支和气余。可见四分历创制者是何等聪明智慧、精研巧思！
明白了《历术甲子篇》元年、二年的编制，就可逐月排出朔、气干支如下：
由以上推算可知：
在推算朔日时，由于大月亏441分，小月盈499分，所以凡朔余大于441分者为大月，小于441分者为小月。因为每两月(一大一小)要盈58分，所以逐月积累，小月朔余大于441分变大月，这就出现所谓“连大月”，如二年之辰月。但二年十二个月仍为六大六小，所以该年总日数并未变。有的年份出现连大月，会使全年十二个月变成七大五小(355日)，后面将会遇到。
在节气推算中，后小余(气余)满32进1位干支。每月中气间相隔30日14分，可逐一叠加推出。如前所述，一个回归年(36514日)大于十二个朔望月(354日)1114日，两年即多出22.5日，所以二年亥月(十月)小雪甲辰，已是该月22日了。到了第三年即多出3334日，必置闰月加以调整。
[原文]游兆执徐三年闰十三
大余四十八小余六百九十六
大余十小余十六
[浅释]此年丙辰年。
“前大余”：54(二年前大余)+54(二年日干支余数)
=108。
108÷60=1……余48(壬子)
“前小余”：348(二年前小余)+348(二年朔余)
=696(分)。
“后大余”：5(二年后大余)+5(二年气干支余数)=10(甲戌)
“后小余”：8(二年后小余)+8(二年气余)=16(分)
即该年前十一月壬子朔甲戌冬至。此为闰年，可排出下列朔闰表：
由上表可知，未月之后应为大月戊申朔，该月晦日应为丁丑；而未月中气大暑丁未，下一个中气处暑戊寅，后于丁丑一天，不在该月之内，该月只有节气立秋壬戌而无中气处暑，故设闰月，此为“无中气置闰”。古人最初采用过岁末置闰，即闰月设置在岁末，但卜辞中就有闰在岁中的记载，可见闰在岁中和闰在岁末有一个相当漫长的并用时期。一般认为，汉太初(公元前104年)改历后才使用闰在岁中(即无中气置闰法)，这是值得进一步研究的。下面在推算历点时再进行讨论。
其实，后大余减前大余，也能大致判断出该年闰年、闰月的情况：
后大余10-前大余48=70-48=22
说明该年冬至已到年前十一月二十三日，该年又有回归年与十二朔望月相差的1114日，说明该年必闰。
1114÷12=0.9375
二年22.5+0.9375×8=30
所以三年从冬至起算的第八月后置闰。
[原文]强梧大荒落四年十二
大余十二小余六百三
大余十五小余二十四
[浅释]此年丁巳年。
三年为闰年，七大六小30×7+29×6=384(日)
[48(三年前大余)+384]÷60=7……余12
故四年前大余为十二。
696(三年前小余)+348(三年朔余)+499-940=603(前小余)
后大余逐年递加五，满六十周而复始；后小余逐年递加八，满三十二进一位。以下同理。
依此，可排出四年朔、气干支：
因为四年子月大，而戌、亥两月又连大，全年十二月七大五小，共355天，这是推算五年前大余要注意的。
[原文]徒维敦牂五年十二
大余七小余十一
大余二十一无小余
[浅释]此年戊午年。
[12(四年前大余)+355(五年日数)]÷60=6……余7
603(四年前小余)+348-940=11此为前小余。
24(四年后小余)+8=32(进一位)
15(四年后大余)+5+1=21
此为后大余、后小余。
[原文]祝犁协洽六年闰十三
大余一小余三百五十九
大余二十六小余八
[浅释]此年己未年。
[7(五年前大余)+354]÷60=6……余1
11(五年前小余)+348=359
此为前大余、前小余。后大余、后小余按常规递加。
26(后大余)-1(前大余)=2525+1114>30
说明该年冬至已到十一月二十六日，必须置闰。依此，排出该朔闰表：
[原文]商横涒滩七年十二
大余二十五小余二百六十六
大余三十一小余十六
[浅释]此年庚申年。
[1(六年前大余)+384(六年总日数)]÷60=6……余25
359(六年前小余)＋348+499－940=266
此为前大余、前小余。后大余、后小余如常递加。
[原文]昭阳作噩八年十二
大余十九小余六百一十四
大余三十六小余二十四
[浅释]此年辛酉年。
推算如前，该年七大五小共355日。
[原文]横艾淹茂九年闰十三
大余十四小余二十二
大余四十二无小余
[浅释]此年壬戌年。
推算如前，该年闰十三，六大七小。共383日。
[原文]尚章大渊献十年十二
大余三十七小余八百六十九
大余四十七小余八
[浅释]此年癸亥年。
该年七大五小共355日。
[原文]焉逢困敦十一年闰十三
大余三十二小余二百七十七
大余五十二小余一十六
[浅释]此年甲子年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]端蒙赤奋若十二年十二
大余五十六小余一百八十四
大余五十七小余二十四
[浅释]此年乙丑年。
[原文]游兆摄提格十三年十二
大余五十小余五百三十二
大余三无小余
[浅释]此年丙寅年。
[原文]强梧单阏十四年闰十三
大余四十四小余八百八十
大余八小余八
[浅释]此年丁卯年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]徒维执徐十五年十二
大余八小余七百八十七
大余十三小余十六
[浅释]此年戊辰年。
该年七大五小共355日。
[原文]祝犁大荒落十六年十二
大余三小余一百九十五
大余十八小余二十四
[浅释]此年己巳年。
[原文]商横敦十七年闰十三
大余五十七小余五百四十三
大余二十四无小余
[浅释]此年庚午年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]昭阳协洽十八年十二
大余二十一小余四百五十
大余二十九小余八
[浅释]此年辛未年。
[原文]横艾涒滩十九年闰十三
大余十五小余七百九十八
大余三十四小余十六
[浅释]此年壬申年。
该年闰十三，七大六小共384日。
按四分历章蔀十九年七闰为一章，到此十九年七闰已毕，甲子蔀第一章完。在这一章里第3、6、9、11、14、17、19七年为闰年。
[原文]尚章作噩二十年正西十二
大余三十九小余七百五
大余三十九小余二十四
[浅释]此年癸酉年。
如前所述，古人以十二地支配四方，此年前十一月合朔冬至同日同时，正是酉时，故标“正西”。其余推算如常，全年七大五小共355日。
此年为第二章首年。
[原文]焉逢淹茂二十一年十二
大余三十四小余一百一十三
大余四十五无小余
[浅释]此年甲戌年。
[原文]端蒙大渊献二十二年闰十三
大余二十八小余四百六十一
大余五十小余八
[浅释]此年乙亥年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]游兆困敦二十三年十二
大余五十二小余三百六十八
大余五十五小余十六
[浅释]此年丙子年。
[原文]强梧赤奋若二十四年十二
大余四十六小余七百一十六
无大余小余二十四
[浅释]此年丁丑年。
全年七大五小共355日。
[原文]徒维摄提格二十五年闰十三
大余四十一小余一百二十四
大余六无小余
[浅释]此年戊寅年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]祝犁单阏二十六年十二
大余五小余三十一
大余十一小余八
[浅释]此年己卯年。
[原文]商横执徐二十七年十二
大余五十九小余三百七十九
大余十六小余十六
[浅释]此年庚辰年。
[原文]昭阳大荒落二十八年闰十三
大余五十三小余七百二十七
大余二十一小余二十四
[浅释]此年辛巳年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]横艾敦二十九年十二
大余十七小余六百三十四
大余二十七无小余
[浅释]此年壬午年。
该年七大五小共355日。
[原文]尚章协洽三十年闰十三
大余十二小余四十二
大余三十二小余八
[浅释]此年癸未年。
该年闰十三，七大六小共383日。
[原文]焉逢涒滩三十一年十二
大余三十五小余八百八十九
大余三十七小余十六
[浅释]此年甲申年。
该年七大五小共355日。
[原文]端蒙作噩三十二年十二
大余三十小余二百九十七
大余四十二小余二十四
[浅释]此年乙酉年。
[原文]游兆淹茂三十三年闰十三
大余二十四小余六百四十五
大余四十八无小余
[浅释]此年丙戌年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]强梧大渊献三十四年十二
大余四十八小余五百五十二
大余五十三小余八
[浅释]此年丁亥年。
[原文]徒维困敦三十五年十二
大余四十二小余九百
大余五十八小余十六
[浅释]此年戊子年。
该年七大五小共355日。
[原文]祝犁赤奋若三十六年闰十三
大余三十七小余三百八
大余三小余二十四
[浅释]此年己丑年。
该年闰十三，七小六大共384日。
[原文]商横摄提格三十七年十二
大余一小余二百一十五
大余九无小余
[浅释]此年庚寅年。
[原文]昭阳单阏三十八年闰十三
大余五十五小余五百六十三
大余十四小余八
[浅释]此年辛卯年。
该年闰十三，七大六小共384日。
到此第二章十九年七闰完，其中第22、25、28、30、33、36、38七年为闰年。
[原文]横艾执徐三十九年正南十二
大余十九小余四百七十
大余十九小余十六
[浅释]此年壬辰年。
此年为第三章首年。年前十一月朔日与冬至同日同时正当午时，故标“正南”。
[原文]尚章大荒落四十年十二
大余十三小余八百一十八
大余二十四小余二十四
[浅释]此年癸巳年。
该年七大五小共355日。
[原文]焉逢敦四十一年闰十三
大余八小余二百二十六
大余三十无小余
[浅释]此年甲午年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]端蒙协洽四十二年十二
大余三十二小余一百三十三
大余三十五小余八
[浅释]此年乙未年。
[原文]游兆涒滩四十三年十二
大余二十六小余四百八十一
大余四十小余十六
[浅释]此年丙申年。
[原文]强梧作噩四十四年闰十三
大余二十小余八百二十九
大余四十五小余二十四
[浅释]此年丁酉年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]徒维淹茂四十五年十二
大余四十四小余七百三十六
大余五十一无小余
[浅释]此年戊戌年。
该年七大五小共355日。
[原文]祝犁大渊献四十六年十二
大余三十九小余一百四十四
大余五十六小余八
[浅释]此年己亥年。
[原文]商横困敦四十七年闰十三
大余三十三小余四百九十二
大余一小余十六
[浅释]此年庚子年。
该年闰十三。七大六小共384日。
[原文]昭阳赤奋若四十八年十二
大余五十七小余三百九十九
大余六小余二十四
[浅释]此年辛丑年。
[原文]横艾摄提格四十九年闰十三
大余五十一小余七百四十七
大余十二无小余
[浅释]此年壬寅年。
全年闰十三，七大六小共384日。
[原文]尚章单阏五十年十二
大余十五小余六百五十四
大余十七小余八
[浅释]此年癸卯年。
全年七大五小共355日。
[原文]焉逢执徐五十一年十二
大余十小余六十二
大余二十二小余十六
[浅释]此年甲辰年。
[原文]端蒙大荒落五十二年闰十三
大余四小余四百一十
大余二十七小余二十四
[浅释]此年乙巳年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]游兆敦五十三年十二
大余二十八小余三百一十七
大余三十三无小余
[浅释]此年丙午年。
[原文]强梧协洽五十四年十二
大余二十二小余六百六十五
大余三十八小余八
[浅释]此年丁未年。
该年七大五小共355日。
[原文]徒维涒滩五十五年闰十三
大余十七小余七十三
大余四十三小余十六
[浅释]此年戊申年。
该年闰十三。七小六大共383日。
[原文]祝犁作噩五十六年十二
大余四十小余九百二十
大余四十八小余二十四
[浅释]此年己酉年。
[原文]商横淹茂五十七年闰十三
大余三十五小余三百二十八
大余五十四无小余
[浅释]此年庚戌年。
全年闰十三，七大六小共384日。
到此第三章十九年七闰完，其中第41、44、47、49、52、55、57七年为闰年。
[原文]昭阳大渊献五十八年正东十二
大余五十九小余二百三十五
大余五十九小余八
[浅释]此年辛亥年。
此为第四章首年。该年年前十一月合朔冬至同日同时，正当卯时，故标“正东”。
[原文]横艾困敦五十九年十二
大余五十三小余五百八十三
大余四小余十六
[浅释]此年壬子年。
[原文]尚章赤奋若六十年闰十三
大余四十七小余九百三十一
大余九小余二十四
[浅释]此年癸丑年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]焉逢摄提格六十一年十二
大余十一小余八百三十八
大余十五无小余
[浅释]此年甲寅年。
全年七大五小共355日。
[原文]端蒙单阏六十二年十二
大余六小余二百四十六
大余二十小余八
[浅释]此年乙卯年。
[原文]游兆执徐六十三年闰十三
无大余小余五百九十四
大余二十五小余十六
[浅释]此年丙辰年。
该年闰十三，七大六小共384日。
[原文]强梧大荒落六十四年十二
大余二十四小余五百一
大余三十小余二十四
[浅释]此年丁巳年。
[原文]徒维敦
六十五年十二
大余十八小余八百四十九
大余三十六无小余
[浅释]此年戊午年。
该年七大五小共355日。
[原文]祝犁协洽六十六年闰十三
大余十三小余二百五十七
大余四十一小余八
[浅释]此年己未年。
全年七大六小共384日。
[原文]商横涒滩六十七年十二
大余三十七小余一百六十四
大余四十六小余十六
[浅释]此年庚申年。
[原文]昭阳作噩六十八年闰十三
大余三十一小余五百一十二
大余五十一小余二十四
[浅释]此年辛酉年。
全年七大六小共384日。
[原文]横艾淹茂六十九年十二
大余五十五小余四百一十九
大余五十七无小余
[浅释]此年壬戌年。
[原文]尚章大渊献七十年十二
大余四十九小余七百六十七
大余二小余八
[浅释]此年癸亥年。
全年七大五小共355日。
[原文]焉逢困敦七十一年闰十三
大余四十四小余一百七十五
大余七小余十六
[浅释]此年甲子年。
全年闰十三，七大六小共384日。
[原文]端蒙赤奋若七十二年十二
大余八小余八十二
大余十二小余二十四
[浅释]此年乙丑年。
[原文]游兆摄提格七十三年十二
大余二小余四百三十
大余十八无小余
[浅释]此年丙寅年。
[原文]强梧单阏七十四年闰十三
大余五十六小余七百七十八
大余二十三小余八
[浅释]此年丁卯年。
全年闰十三，七大六小共384日。
[原文]徒维执徐七十五年十二
大余二十小余六百八十五
大余二十八小余十六
[浅释]此年戊辰年。
全年七大五小共355日。
[原文]祝犁大荒落七十六年闰十三
大余十五小余九十三
大余三十三小余二十四
[浅释]此年己巳年。
全年闰十三，七大六小共384日。
到此第四章十九年七闰完，其中第60、63、66、68、71、74、76七年为闰年。此年亦是甲子蔀最后一年，到此四分历第一蔀(即甲子蔀)结束，但尚有蔀余三十九，且看下文。
[原文]商横敦七十七年
右历书：大余者，日也；小余者，月也。端(旃)蒙者，年名也。支：丑名赤奋若，寅名摄提格。干：丙名游兆。正北(原注：冬至加子时)，正西(原注：加酉时)，正南(原注：加午时)，正东(原注：加卯时)。
[浅释]此年庚午年。
此年应为四分历第二蔀(癸卯蔀)首年。原文脱落有误，尤其“大余者，日也；小余者，月也”一句，造成历史误解，使《历术甲子篇》竟成读不懂的天书，现经张汝舟先生考订。原文应为：
商横敦七十七年正北十二
大余三十九无小余
大余三十九无小余
右历书：大余者，日也；小余者，日之余分也。前大余者，年前十一月朔也；后大余者，年前十一月冬至也。前小余者，合朔加时也；后小余者，冬至加时也。端蒙赤奋若者，年干支名也。支：丑名赤奋若，寅名摄提格；干：丙名游兆。正北：合朔冬至加子时；正西：加酉时；正南：加午时；正东：加卯时。
因为[15(七十六年前大余)+384(七十六年总日数)]÷60=6……余39(癸卯)
93(七十六年前小余)+348+499-940=0
33(七十六年后大余)+5+1=39(癸卯)
24(七十六年后小余)+8=32(进一位为0)
说明商横敦七十七年前十一月癸卯日夜半子时0点合朔冬至，这正是四分历第二蔀癸卯蔀的起算点。由此起算，癸卯蔀的朔闰推算完全同于甲子蔀。
《历术甲子篇》虽然只列了甲子蔀七十六年的大余、小余，并依此推算各年朔闰。其实，其他十九蔀均可照此办理(只需加算蔀余)，这是一个有规律的固定周期，所以我们称之为“历法”。由《二十蔀表》和《历术甲子篇》的内部编制，我们深深感到，上古星历家、四分历的创制者的确运筹精密，独具匠心，实在令人惊叹！
为了运算查阅方便，下面特列出甲子蔀朔日表：
六、入蔀年的推算 #
《历术甲子篇》只列四分历第一蔀七十六年之大余小余，因为是“法”，是规律，自可以一蔀该二十蔀。
上节所述《历术甲子篇》内部的编制，可利用朔策及气余推算出甲子蔀太初以下七十六年之朔闰，这当然是基本的。在实际应用时，多涉及史料所记载的年代，只需要以历元近距(公元前427年)为基点进行推算。
要知某年之朔闰，当先以历元近距前427年为依据，算出该年入二十蔀表中某蔀第几年。入蔀年可用146页表。“年”用《历术甲子篇》之年序，从太初元年至太初七十六年查得该年之前大余再加该蔀蔀余，则得该年子月之朔日干支，其余各月朔闰则按上节推算法即得。
如，睡虎地秦墓竹简载：“秦王二十年四月丙戌朔丁亥。”
验证这个历点的办法是：
秦王政二十年为公元前227年。(须查《中国历史纪年表》，下同。)
推算：427-227=200(年)(上距前427年200年)
200÷76=2……余48(算外49)
前427年为己酉蔀第一年，顺推两蔀进丁卯蔀，知前227年为丁卯蔀第四十九年。丁卯蔀蔀余是3。(见145页表)
查《历术甲子篇》太初四十九年，大余五十一，小余七百四十七。(见上页朔日表)
蔀余加前大余3+51=54。
查147页《一甲数次表》，54为戊午。
得知，前227年子月戊午747分合朔。
按月推知，得
丑月戊子，306
寅月丁巳，805
卯月丁亥，364
辰月丙辰，863
巳月丙戌，422
午月乙卯(下略)
巳月(夏历四月)朔丙戌，丁亥是初二。与出土文物所记吻合。
又，贾谊《鵩鸟赋》：“单阏之岁兮，四月孟夏，庚子日斜兮，鵩集于舍。”
“单阏”是“卯”的别名。根据贾谊生活时代推知，卯年即丁卯年。单阏乃“强梧单阏”之省称。这是汉文帝六年公元前174年丁卯年。
推算：427-174=253(年)
以蔀法除之253÷76=3……余25
该年为丙午蔀第26年。(前427年在己酉蔀，己酉蔀之后三蔀即丙午蔀。算外，入第26年。)
查，《历术甲子篇》太初二十六年，大余五，小余三十一。
蔀余加前大余42+5=47(辛亥)
得知，前174年子月辛亥日31分合朔。
按月推之：
丑月庚辰，530
寅月庚戌，89
卯月己卯，588
辰月己酉，147
巳月戊寅，646
午月戊申(下略)
巳月(夏历四月)戊寅朔，则二十三日庚子。
贾谊所记乃汉文帝六年(丁卯年)四月二十三日事。
七、实际天象的推算 #
四分历的岁实为36514日，与一个回归年的实际长度比较密近而并不相等，由此产生的朔策29日499分也就必然与实测有一定误差。所以，四分历使用日久，势必与实际天象不合。南朝天文学家何承天、祖冲之就已经指出四分历的不精。何承天说：“四分于天，出三百年而盈一日，积代不悟。”祖冲之说：“四分之法，久则后天，以食检之，经三百年辄差一日。”因为
四分历朔策：29 =29.53085106日
实测朔策：29.530588日
每月超过实测：0.00026306日
十九年七闰计235月，每年余0.0032536日
1÷0.0032536=307(年)
即307年辄差一日，每日940分计
940÷307=3.06(分)
即四分历每年约浮3.06分。
如果用《历术甲子篇》的“法”来推演，再加上每年所浮3.06分，上推千百年至西周殷商，下推千百年至21世纪的今天，所得朔闰也能与实际天象密近(区别仅在平朔与定朔，平气与定气而已)。
因为四分历行用于公元前427年，所以推算前427年之前的实际天象，每年当加3.06分；推算前427年之后的实际天象，每年当减3.06分，简言之，即“前加后减”。一些考古学家不明这个道理，用刘歆之孟统推算西周实际天象，总是与铭器所记不合，总是要发生两三天的误差，根本原因就是没有把每年浮3.06分计算在内，最后不得不以“月相四分”来自圆其说。
这里举几个例子，用3.06分前加后减，求出实际天象。
例1.《诗·十月之交》：“十月之交，朔月辛卯，日有食之。”这是一次日食的记载，发生在十月朔日辛卯这一天。前人已考定为周幽王六年事，试以四分历法则为基础求出实际天象验之：
查，周幽王六年为公元前776年。用前节推算方法，先入蔀入年。知前776年入甲午蔀第32年。
查《历术甲子篇》太初三十二年：前大余三十，小余二百九十七。
甲午蔀蔀余是30，30+30=60(即0，即甲子)
按正常推算，前776年子月甲子日297分合朔。因为四分历先天每年浮3.06分，实际天象应从前427年起每年加3.06分。
即(776-427)×3.06≈1068(分)
逢940分进一，得1.128
1.128+0.297(小余)=1.425(日加日，分加分)
得知公元前776年实际天象：子月乙丑(1)日425分合朔(平朔)。
该年每月朔闰据此推算为
子月乙丑425丑月甲午924
寅月甲子483卯月甲午 42
辰月癸亥541巳月癸巳100
午月壬戌599未月壬辰158
申月辛酉657酉月辛卯216
戌月庚申715亥月庚寅274
西周建丑为正，此年失闰建子，十月(酉)辛卯朔，吻合不误，足证《诗·十月之交》所记确为幽王六年事。
例2.《史记·晋世家》：“五年春，晋文公欲伐曹，假道于卫，卫人弗许。……三月丙午，晋师入曹……四月戊辰，宋公、齐将、秦将与晋侯次城濮。乙巳，与楚兵合战……甲午，晋师还至衡雍，作王宫于践土。”
晋文公五年为公元前632年，632-427=205(距前427年年数)
205÷76=2……余53(年)
76-53=23(算外24)
该年入四分历第十三蔀(壬子蔀)第二十四年。
查《历术甲子篇》太初二十四年：大余四十六，小余七百一十六。
壬子蔀蔀余48+46(前大余)=94(逢60去之，34戊戌)
四分历先天205×3.06=627(分)
34.716+0.627=35.403(日加日，分加分。分数940分进一日。)
得知，公元前632年实际天象：
晋、楚用寅正，三月(辰)丁酉朔，丙午为三月初十。四月丁卯朔，戊辰为四月初二，己巳为四月初三，甲午为四月二十八日。历历分明。
例3：《汉书·五行志》：“高帝三年十月甲戌晦，日有食之。”
汉高帝三年为公元前204年(丁酉年)
427-204=223
223÷76=2……余71(算外72)
该年入第十八蔀(丁卯蔀)第七十二年。
查《历术甲子篇》七十二年：大余八，小余八十二。
蔀余3+8(前大余)=11(乙亥)
说明该年前十一月(子)乙亥朔。汉承秦制，在太初改历前的汉朝记事，都是起自十月，终于九月。十一月乙亥朔，则十月晦必为甲戌，正与《汉书》所记相同。
为什么日食会发生在晦日呢？这是年差分造成的。如果求出实际天象，日食在晦就很容易得到解释。
223×3.06≈682(分)
11.082-0.682=10.340
实际天象是，该年十一月(子)甲戌(10)日340分合朔。
可见，因四分历行用日久，年差分积累过大，才发生日食在晦的反常天象。这从历法推算上显示得清清楚楚。
例4：推算公元1981年实际天象。
先看陈垣《二十史朔闰表》所列1981年朔日：
十一月(子)甲寅十二月(丑)甲申
正月(寅)甲寅二月(卯)癸未
三月(辰)癸丑四月(巳)壬午
五月(午)辛亥六月(未)辛巳
七月(申)庚戌八月(酉)己卯
九月(戌)己酉十月(亥)己卯
十一月(子)戊申十二月(丑)戊寅
用四分历推算，1981年入戊午蔀第52年。
查《历术甲子篇》太初五十二年：大余四，小余四百一十。
戊午蔀蔀余54+4(前大余)=58
四分历先天(427+1981)×3.06=7369(分)
7369÷940=7……余789
“前加后减”，58.410-7.789=50.561(日减日，分减分)
得知：1981年年前十一月甲寅(50)日561分合朔
据此推演，1981年各月朔日如次。
两相对照，所不合者正月、三月、八月，如果考虑到它们的分数，则相差不会超过半天。按四分历算，太初五十二年当是闰年，十三个月，这是据“十九年七闰”的成规；今天的阴历(夏历)置闰已不用旧法，闰在1982年。因为今天的阴历(夏历)早已不用平朔、平气，而使用定朔、定气，所以有上述的差别。
这样的推算在今天虽然没有什么实用价值，但由此可以证实，如果考虑到年差分，修正四分历的误差，仍可以得出密近的实际天象，以上举例都说明了这一点。
八、古代历法的置闰 #
世界各国现今通用的阳历，或称公历，是以一个回归年长度为依据的历法。一回归年是365日5小时48分46秒，相当于365.2422日。阳历以365日为一年，每年所余0.2422日，累积四年，大约一天。所以阳历每四年增加一天，加在2月末，得366日，这就是阳历的闰年。四年加一天又比回归年实际长度多了44分56秒，积满128年左右，就又多算一天，相当于400年中约多算三天。因此，阳历置闰规定，除公元年数可以4整除的算闰年外，公元世纪的整数，须用400来整除的才算闰年，这就巧妙地在四百年中减去了三天。这就是阳历的置闰。我国的农历，又称“阴历”，主要依据朔望月(月亮绕地球周期)，同时兼顾回归年，实质上是一种阴阳合历。朔望月(从朔到朔或从望到望)周期是29.5306日。农历一年十二个月，一般六大六小，只有354日，比一个回归年少11.2422日。不到三年必须加一月，才能使朔望月与回归年相适应。这是用置闰办法来调整回归年与朔望月，使月份与季节大体吻合。中国古代历法的频繁改革，主要内容之一就是调配回归年与朔望月的长度，使之相等。简单地说，就是调整闰周，确定多少年置一闰月。《左传·文公六年》：“闰月不告朔，非礼也。闰以正时，时以作事，事以厚生，生民之道，于是乎在矣，不告朔闰，弃时政也，何以为民？”大意是说，置闰的目的是定季节，定季节的目的是干农活。君王的职责之一就是公告闰朔。如果违背这种制度，怎么治理百姓？
由于置闰是人为的操作，历代对闰月的安排也就很不相同。已发现的殷墟卜辞中，武丁卜辞多有“十三月”的记载，祖庚、祖甲时代又有“多八月”“冬八月”“冬六月”“冬五月”和“冬十三月”的刻辞。“多”即“闰”，“冬”即“终”也就是“后”的意思。所以“多八月”“冬六月”即“后八月”“后六月”，也是“闰八月”“闰六月”的意思。“冬十三月”即“闰十三月”。卜辞里面，还有“十四月”的记载，古历称之为“再闰”，就是一年置两个闰月。殷周金文里面，“十四月”刻辞并不鲜见。周《金雝公缄鼎》“隹十又四月，既生霸壬午”，就是例子。到春秋时代，这种一年再置闰的情况就没有了。
闰十三月，就是年终置闰。闰六月、闰八月，算是年中置闰。这说明古历置闰并无规律，这与回归年和朔望月的调配没有找到规律有关。在年、月、日的调配无“法”可依，没有找到规律之前，都是观象授时的时代。观象，主要是观天象，观察日月星辰的运动变化规律。比如昏旦中星的变化和北斗斗柄所指的方向，以此作为置闰的依据。因为是肉眼观测，不可能精确，只能随时观测随时置闰，所以古历多有失闰的记载。多置一闰，子正就成了丑正，少置一闰，丑正就成了子正。据《春秋》经传考证，到春秋中期古人就大体掌握了十九年七闰的方法。
为什么十九年要置七闰呢？因为春秋中期之后，根据圭表测影的方法已初步掌握了一回归年的长度为36514日。有了这个数据，年、月、日的调配就有了可能。
四分历由36514日推出朔望月长度(朔策)为29 日。
十九年中要有235个朔望月才能与十九个回归年日数大体相等。即
19×365.25≈235×29
而一年十二个月的话，19×12=228(月)，必须加七个闰月才能达到目的。这就是十九年七闰的来源。
东汉许慎《说文》云：“闰，余分之月，五岁再闰也。告朔之礼，天子居宗庙，闰月居门中，从王在门中。周礼，闰月王居门中终月也。”此处“五岁再闰”就是五个回归年中要置两个闰月。“三年一闰，五年再闰”，这是较古老的方法。
365.25×5<354×5+60
1826.25<1830
五年之中竟有近4天的差误，根本无法持久使用。十九年七闰的规律掌握以后，置闰就有“法”可依了。四分历规定十九年为一章，这个“章”法，就是反映置闰规律的。
古法有“归余于终”之说，是将闰月放在年终，方便易行。春秋战国时代大多如此。齐鲁建子，闰在亥月后。晋楚建寅，闰在丑月后。秦历以十月为岁首，闰在岁末，称“后九月”。汉初一仍秦法，直至汉武帝太初改历，才改闰在岁末为无中气置闰。这个无中气置闰原则就一直行用到现在，只不过当今对中气的计算更细致更精确罢了。这就是《汉书·律历志》所谓“朔不得中，是为闰月”，闰月设置在没有中气的月份。
《礼记·月令》注疏者说：“中数曰岁，朔数曰年。中数者，谓十二月中气一周，总三百六十五日四分之一，谓之一岁。朔数者，谓十二月之朔一周，总三百五十四日，谓之为年。”这里把岁与年区分得很清楚：岁是二十四节气(其中十二中气)组成的回归年，是太阳历；年是十二个朔望月组成的太阴年，是太阴历。中国农历是阴阳历系统，必须反映二十四节气和朔望月的配合关系。
根据张汝舟先生的研究，中国最早的历法就是战国初期创制，行用于周考王十四年(公元前427年)的殷历(称“天正甲寅元”的四分历)。《史记·历术甲子篇》就是这一部历法的文字记录，《汉书·次度》是它的天象依据。《历术甲子篇》所列七十六年前大余，就是年前十一月(子月)朔日干支序数，前小余就是十一月合朔的分数；后大余是冬至日干支序数，后小余是冬至时分数。不难看出，前大余小余是记录朔望月的朔日的，是太阴历系统；后大余、小余是记录冬至(中气)干支及余分的，反映回归年长度，属太阳历系统。两相调配，《历术甲子篇》就是中国最早的一部阴阳合历的历法宝典。
汉武帝太初改历，一改“归余于终”的古法，行无中气置闰。所谓中气，是指从冬至开始的二十四节气中逢单数的节气。依照《汉书·次度》记载，这十二节气正处于相应宫次的中点(冬至为星纪次中点，大寒为玄枵次中点，惊蛰——汉以后称雨水，是娵訾次中点……)，故称中气。其他十二节气，则在各次的初始(星纪之初为大雪，玄枵之初为小雪，娵訾之初为立春……)，如竹之结节，故仍称节气。
因为一个朔望月(29.5306日)比两个中气之间的时间(365.2512日)距离要短约一天，如果从历法计算的起点算，过32个月之后这个差数积就会超过一个月，就会出现一个没有中气的月份，本应在这个月的中气便推移到下个月去了。若不置闰，后面的中气都要迟出一个月。长期下去，各个月份和天象、物象、气象的相对关系就要错乱。三次不置闰，春季就会出现冰天雪地的景象，深秋还是烈日炎炎，历法就失去指导农业生产的意义了。
中国最早的历法——殷历，即《历术甲子篇》的无中气置闰与今天农历的无中气置闰大不相同。殷历用平朔平气，春夏秋冬一年十二个月均可置闰。从清代“时宪历”起用定气注历，至今未变，闰月多在夏至前后几个月，冬至前后(秋分到次年春分之间)则无闰月。这是因为春分到秋分间太阳视运动要经186天，而从秋分到春分间却只需要179天。日子一短，则节气间相距的日子就短，所以不宜设置闰月。
我们知道，四分历的岁实是36514日，而平年六大六小，只用去了354日，每年尚余1114日。由于历元是取冬至日合朔，1114必是冬至(气)之余，也称“气余”。按每年余1114日计算，两年则余2224日，经三年则余3334日，就是说3334日之内无中气，所以第三个年头上就必须置闰了。这就是四分历安排置闰的依据。
气余1114日每年递加，并无困难。由于第三年置闰，又有连大月，全年达384日，比平年(354日)多了30日。所以
354+3334-384=334(日)
334日为第三年实际气余。
第四年再加1114，得15日，由于第四年七大五小，为355日，比平年多1日，所以
15-1或354+15-355=14(日)
14日便是第四年气余。
根据这个办法我们可以将一蔀七十六年各年气余推算出来，也就可以据此考虑闰在某月了。
前面说过，平年六大六小，每年气余1114日。若将它用一年十二个月平分，则每月气余0.9375日。这样以上年气余为基数，从该年子月开始逐月递加0.9375日，到某月超过30日或29日(小月)，便知某月之后是置闰之月。
如第三年当闰，以上年气余2224日为基数，从子月起逐月递加0.9375日，到第八个月便超过30日了。所以四分历是在第八个月之后置一闰月，夏历用寅正，从子月算起到第八个月，则闰六月。又如第十九年当闰，便以上年气余1912日为基数，从子月起逐月递加0.9375，到第十二个月超过了30日，便在此月之后置闰。
《历术甲子篇》是通过后大余／后小余反映二十四节气的。后大余是冬至的干支代号，后小余是冬至时的分数。这个小余的分母是32(分)，与前小余分数的分母是940(分)不同。为什么要化1/4为8/32？这是便于推算一年二十四节气。因为四分历是平气，冬至一定，其他节气便可逐一推出。
即两个节气相距15日7分。分母化为32，才会除尽有余分7。从冬至日算起，顺次累加，可以算出一年二十四个节气的干支和气余。
《历术甲子篇》只列出太初七十六年每年冬至干支及余分，我们可以据此排出七十六年各月的朔、气干支及余分。两个中气相距30日14分，置闰之“法”就反映在朔(前大余)与中气(后大余)的关系上。
由于朔策数据是29499940，逢小月小余499分，逢大月小余减441分，中气的大小余推演从冬至起每月累加30日14分。
由于《历术甲子篇》已列出每年年前十一月(子月)朔日及冬至的大小余，便可以从每年的十一月(子月)做起算点推演每月朔日与中气，我们以太初三年作推演示范。
《历术甲子篇》的后大余是冬至日干支，二十四节气由此推演还好理解，太初三年置闰也很明确，只是从何知道必在六月(未月)之后置闰呢？
这个闰六月是前大余四十四(戊申朔)与处暑十四(戊寅处暑)的关系确定下来的，戊申朔，处暑戊寅必在下月，则此月无中气，依无中气之月置闰的原则，闰在六月后就可以肯定了。
所以说，《历术甲子篇》通篇的大余、小余有极其丰富的内容，二十四节气可由此推演，无中气置闰规则也包含其中。
无中气置闰还有另一种推算方法。一岁36514日，以12除，得302148日。即两中气间隔302148日，上月中气加30日21分，得本月中气。到中气日期超过29或30，小月亦应置闰，中气就在下月初了。《殷历朔闰中气表》就是这样编制的，它的特点是，中气日期不用干支序数而用一月内日的序数，这就与蔀余不发生关系而自成系统了。
这就是魏晋以前中国古代历法置闰的全部内容。
九、殷历朔闰中气表 #
中国最早的历法，前人有所谓“古六历”之说——黄帝历、颛顼历、夏历、殷历、周历、鲁历，近人以为都是四分历数据。其实，“古六历”是东汉人的附会。汉代盛传所谓“天正甲寅元”与“人正乙卯元”，其间也有承继关系，人正乙卯元的颛顼历实是天正甲寅元的殷历的变种。所以，中国最早的历法就是天正甲寅元的殷历，就是以寅为正的真夏历假殷历，也就是四分历。历法产生之前，包括“岁星纪年”在内，都还是观象授时阶段。进入“法”的时代，就意味着年、月、日的调配有了可能，也有了规律，由此可以求得密近的实际天象——这是一切历法生命力之所在。
根据张汝舟先生的苦心研究，《史记·历书·历术甲子篇》就是司马迁为我们保存下来的殷历历法，《汉书·次度》就是殷历历法的天象依据。利用这两篇宝贵资料，可以诠释上古若干天文历法问题。并推算出文献记载的以及出土文物中的若干历点。
《历术甲子篇》记载了历元太初第一蔀七十六年的子月朔日及合朔分数(前大余、前小余)和冬至日及冬至时分数(后大余、后小余)，即公元前1567年至公元前1492年的子月朔日、冬至日及余分。由于是“法”，自可以一蔀该二十蔀，贯通四分历法的古今。
要推算任何一年的朔与气，必须将该年纳入殷历的某蔀第几年。“蔀”用“殷历二十蔀表”，“年”用《历术甲子篇》之年序。查得该年之前大余，加上该蔀蔀余，就得出该年子月之朔日干支。使用《殷历朔闰中气表》(见书后299页附表二)求各月朔日干支，就更为便捷，只要某月大余加上该年入蔀之蔀余就得该月之朔日干支。《殷历朔闰中气表》已将各年十二中气算出，中气依《次度》立名。表中“惊蛰”即汉以后之“雨水”，表中“清明”即汉以后之“谷雨”。
由于四分历粗疏，“三百年辄差一日”，每年比实际天象约浮3.06分(940分进位)。要求出实际天象，必须考虑3.06这个年差分。张汝舟先生考订，殷历创制行用于周考王十四年(公元前427年)。所以必须以公元前427年(入己酉蔀元年)为准，前加后减。即前427年之前每年加3.06分，前427年之后每年减3.06分，方能得出密近的实际天象。
殷历甲寅元一经创制行用，就成为中华民族的共同财富通行于当时各国，所不同者唯岁首和建正而已。四分历法则在当时是不可改变的，认为“战国时代各国历法不同”，没有充分根据。
公元前427年以前的年份，虽未行用有规则的历法，但朔望在天，有目共睹，加以干支纪日延续不断，历代不紊，构成了历法推算的基础，只要年代确凿，考虑到建正、岁首、置闰等方面情况的不同，仍然可以用四分历推算。第六讲四分历的应用